A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.
A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.
Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.
Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.
Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt-ról, Rayleigh III. lordjáról nevezték el.
A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:
ahol és a kumulatív eloszlás függvény:
ahol
Tulajdonságok jobbra|bélyegkép|300px|A Rayleigh-eloszlás sűrűségfüggvénye jobbra|bélyegkép|300px|Rayleigh-féle kumulatív eloszlásfüggvény A nyers momentum:
ahol a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:
és
A ferdeség:
A többlet lapultság:
A karakterisztikus függvény:
ahol a képzetes hibafüggvény.
A momentum-generáló függvény:
ahol a hibafüggvény.
Információ entrópia
Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény:
ahol az Euler–Mascheroni állandó.
Paraméter becslés
N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a maximális valószínűsége:
A értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.Sijbers 1998Sijbers 1999
Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:
Rayleigh-eloszlású lesz paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:
Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.
Kapcsolódó eloszlások
Ha Rayleigh-eloszlású, akkor , ahol , és független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál. Ha , akkor khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal: Ha X exponenciális eloszlású , akkor , then . Ha , akkor gamma-eloszlású, and : paraméterekkel. A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez : . A Maxwell–Boltzmann-eloszlás írja le a normál vektor nagyságrendjét három dimenzióban.
Kapcsolódó szócikkek Rayleigh-fading Maxwell–Boltzmann statisztika Boltzmann-eloszlás Maxwell sebesség eloszlás Matematikai statisztika Normális eloszlás Szórás Nakagami-eloszlás Norma Valószínűségi változó Szórásnégyzet Entrópia
Jegyzetek
Kategória:Valószínűség-eloszlások