A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.
Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.
Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.
Meghatározás
A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő: k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből. k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák. k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg. Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.
Tulajdonságok Sűrűségfüggvény jobbra|bélyegkép|250px |Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres) jobbra|bélyegkép|250px |Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)
A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.
0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.
k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.
k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.
k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.
Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.
Eloszlásfüggvény A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:
x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):
Momentumok A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:
ahol a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:
Az X n-edik nyers momentuma:
Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:
és
A ferdeség:
ahol a középérték és a szórás. A többletlapultság:
ahol . A lapultság még kifejezhető így is:
Momentum-generáló függvény
Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:
Integrálként:
Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető.See for the case when k is an integer, and for the rational case. Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:
ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000452
Az információ entrópiája Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):
ahol az Euler–Mascheroni állandó. Weibull-plot A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg.The Weibull plot A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az adat ábrázolható. A tengelyek és . A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:
Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik:
ahol az adat rangsora és az adatpontok száma.Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a paraméterre is lehet következtetni. Alkalmazás A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák: Túlélés-analízis Hibananalizis Megbízhatósági számítások Ipari termelésnél (szállítási idők stb.) Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm Wind Speed Distribution Weibull Extrémérték-elmélet Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál) Általános (nem élet-) biztosításoknál Technológiaváltozásoknál Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése) Granulált részecskék méretének becslésénél
Kapcsolódó eloszlások
A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.
Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:
és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol is az alakparaméter, a skálaparameter és a a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.
A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:
mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.
A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerűen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.
A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.
A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:
A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet Statisztika Rayleigh-fading Normális eloszlás Exponenciális eloszlás Gamma-eloszlás Shannon-entrópiafüggvény Entrópia Lapultság Fürdőkádgörbe poli-Weibull-eloszlás Fréchet-eloszlás Általánosított extrémérték-eloszlás Hatványozott Weibull-eloszlás Extrémérték-elmélet Nyújtott exponenciális függvény
Jegyzetek
Adatok A Weibull-eloszlás Egy PDF-fájl
Kategória:Valószínűség-eloszlások