A matematikában a Mercator-sor – más néven Newton–Mercator-sor – a természetes logaritmus Taylor-sora:http://mathworld.wolfram.com/MercatorSeries.html
Összegzéses (szummázás) jelöléssel:
A sorozat a természetes logaritmushoz (1-gyel eltolva) konvergál, ha –1 < x ≤ 1.
Történet
Ezt a sort egymástól függetlenül fedezte fel Nicholas Mercator, Isaac Newton, és Gregory Saint-Vincent. Mercator publikálta először, 1668-ban, a ‘Logarithmo-technica’ című tanulmányában, ezért róla nevezték el a sort.
Deriválás
A sor a Taylor-elméletből származtatható, induktívan az lnx függvény n-edik deriválásából, x=1 –nél, melynek kezdete:
vagy kezdődhet egy véges mértani sorozattal ((t ≠ –1):
melyből:
ezt követi:
és tagonkénti integrálással
ha –1 < x ≤ 1, és a maradék tag tarta 0-hoz, míg . Ez a kifejezés iteratív módon is integrálható k-szor:
ahol
és
melyek x polinomjai
Speciális esetek x=1 esetén a Mercator-sor egy harmonikus sor:
Komplex sorozat
A komplex hatvány sorozat
ln(1 + z) Taylor-sora, ahol ln a komplex logaritmus egy ágára utal. Ez egy konvergáló sorozat egy nyílt tartományon belül , és a jellemzőjű körön, kivéve a (Abel-teszt miatt), és a konvergencia egyenletes minden zárt körön, ahol a sugár szigorúan kisebb mint 1.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek
Természetes logaritmus Komplex logaritmus Konvergencia Taylor-sor Abel-teszt http://mathworld.wolfram.com/MercatorSeries.html http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html
Jegyzetek
Kategória:Valós analízis Kategória:Végtelen sorok