A matematikában, az Abel-teszt (Abel-kritériumnak is hívják) módszer a véges sorok konvergenciájának. A tesztet Niels Henrik Abel matematikusról nevezték el.
Két kissé különböző változat létezik, az egyik valós számok sorozatára, a másik a komplex analízisben a hatványsorokra használható.
Abel-teszt a valós analízisben
Ha a következő állítások igazak:
1. egy konvergens sorozat 2. {} egy monoton sorozat 3. {} korlátos,
akkor konvergens. Abel-teszt a komplex analízisben Az Abel-tesztet gyakran hatvány-sorok – egy konvergencia körön belüli - konvergenciájának megállapítására használják. Az Abel-teszt az állítja, hogy ha
és a
sorozat konvergál, ha |z| < 1 és divergál ha |z| > 1, továbbá a {an} együtthatók pozitív valós számok, monoton csökkennek a zéró határérték felé n > m esetén (azaz, ha n elég nagy), akkor az f(z) függvény konvergál mindenhol egy egységnyi körön belül, kivéve, amikor z = 1.
Az Abel-teszt nem alkalmazható, amikor z = 1, úgy, hogy ebben a speciális pontban külön kell vizsgálni a konvergenciát.
Megjegyzendő, hogy az Abel-teszt olyan hatvány sorokra is alkalmazható, ahol a konvergencia sugara R ≠ 1, egy egyszerű változó cserével: ζ = z/R.(Moretti, 1964, p. 91)
Az Abel-teszt bizonyítása Tegyük fel, hogy z egy egységnyi körben egy pont, és z ≠ 1. Ekkor
így, bármely két pozitív egészre p > q > m, írhatjuk, hogy
ahol Sp és Sq részleges szummák:
Mivel |z| = 1 és a an monoton csökkenő pozitív valós számok ha n > m, akkor írhatjuk:
Most alkalmazhatjuk a Cauchy-konvergenciakritériumot annak megállapítására, hogy f(z) konvergál a kiválasztott pontnál z ≠ 1, mert sin(½θ) ≠ 0 egy állandó mennyiség, és aq+1 kisebb lesz bármely adott ε > 0 –nál, ha q elég nagy. Irodalom
Kapcsolódó szócikkek
Véges sor Konvergens Cauchy-konvergenciakritérium Taylor-sor
Abel-féle egyenletes konvergencia teszt
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/17thCentury/RouseBall/RB_Math17C.html
Jegyzetek
Kategória:Végtelen sorok