A tangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög két oldalára és az oldalakkal szemben fekvő szögekre igaz a következő összefüggés:
Más alakban A tétel a háromszög szokásos jelöléseivel írható úgy is, mint:
, ahol a és oldalak különböző hosszúak, hogy a nevező ne legyen nulla. Hasonló kikötések érvényesek a további képletekre is.
Mivel
azért a képlet megfogalmazható úgy is, mint
Ciklikus permutációkkal a következő képletekhez juthatunk, feltéve, hogy az azokban szereplő oldalak különböző hosszúak:
Mivel a tangensfüggvény páratlan, azaz , a képletek akkor is érvényesek maradnak, ha a bennük szereplő oldalakat és a hozzájuk tartozó szögeket kicseréljük, mint például:
Bizonyítás Szinusztétellel A szinusztétel értelmében:
Legyen
így
amiből
A két szinusz összegére vonatkozó képlet
használatával a következő alakot kapjuk:
Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Mollweide-formulával A háromszög szögösszegéből és a tangens és kotangens pótszöges kapcsolatából:
A Mollweide-formulával a tangenstétel:
Általánosítás húrnégyszögekre Ha húrnégyszög, akkor teljesül rá a tangenstétel egy általánosítása. Az , , , oldalhosszakra és az , szögekre:
Ez a képlet esetén a háromszögek tangenstételére redukálódik. Gömbi geometria Gömbháromszögekre teljesülnek a következők:Wolfram: Spherical Law of TangentsRob Johnson, West Hills Institute of Mathematics: Spherical Trigonometry
ahol , és a gömbháromszög oldalait alkotó körívek, és , és a háromszög gömbön mért szögei. Története A tangenstételt Abu l-Vafá Muhammad ibn Muhammad al-Búzdzsáni fedezte fel a 10. században.
Ibn Mu'adh al-Jayyani a 11. században szintén írt a síkháromszögek tangenstételéről.
A gömbháromszögek tangenstételét Naszír ad-Dín Túszí írta le először, aki ötkötetes művében a síkháromszögek szinusztételét is ismertette.
Jegyzetek
Források
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer 2007, o. 129 Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 5. I: Ebene Trigonometrie. II: Sphärik und sphärische Trigonometrie. Walter de Gruyter, 1923, , S. 79–82, doi:10.1515/9783111447766.70,
Fordítás
Kapcsolódó szócikkek Koszinusztétel Szinusztétel Kotangenstétel
Kategória:Háromszögek Kategória:Matematikai tételek Kategória:Trigonometria