A matematikában a hányadosszabály egy módszer arra, hogyan lehet egy függvény deriváltját megtalálni, ahol a függvény két másik deriválható függvény hányadosa.
Ha az differenciálandó függvény felírható
alakban, ahol ,
akkor a szabály szerint a deriváltja:
Még pontosabban, ha egy nyílt halmazban minden x tartalmaz egy a számot, mely kielégíti a feltételt, továbbá és létezik, akkor is létezik, és
Ez kiterjeszthető a második deriváltra is (ez bizonyítható ha kétszer vesszük a deriváltját).
Az eredmény:
A hányadosszabály levezethető a szorzatszabályból, és a láncszabályból.
Példák
deriváltja:
.
A fenti példában:
Hasonlóképpen a sin(x)/x2 deriváltja (ha x ≠ 0):
Korlátok
A hányados-szabály nem használható olyan pontokban, ahol a számláló, vagy a nevező nem differenciálható. Az lehetséges, hogy a hányados differenciálható ezekben a pontokban:
Például, tekintsük a következő függvényt:
ahol |x|, x abszolút értéke.
A függvény értéke természetesen f(x) = 1, úgyhogy mindenhol differenciálható, és f'(0) = 0. Ha megpróbáljuk a hányados-szabályt alkalmazni a f'(0)-ra, akkor egy definiálhatatlan érték jönne ki, mivel |x| nem differenciálható x = 0-nál.
Bizonyítás Algebrai bizonyítás A tétel algebrai bizonyítása Láncszabály alkalmazása Tekintsük az alábbi egyenletet:
majd:
ez vezet a következő egyenlőségre:
.
A szorzások elvégzése után:
végül közös nevezőre hozva megkapjuk az eredményt:
Szorzatszabály alkalmazása A szorzatszabály szorzatok (2 vagy több függvény szorzatánál) deriváltjának kiszámítására használható. Legyen .
Kissé átírva:
A szorzatszabályt és a láncszabályt használva a differenciáláshoz:
Megszorozva az első tört számlálóját és nevezőjét -vel, kapjuk:
,
ami a hányadosszabály.
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Lánc-szabály Szorzatszabály Derivált Reciprokszabály
Jegyzetek
Kategória:Valós analízis Kategória:Komplex analízis Kategória:Differenciálszámítás