A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a k szabadságfokú khí-négyzet-eloszlás (más neveken: khi-négyzet, Khi2) k darab független normális eloszlású valószínűségi változónak a négyzetösszege.
Ez az eloszlás széles körben használatos a valószínűség-eloszlások között, a statisztikai területén, például a hipotézisek ellenőrzésekor, vagy egy konfidenciaintervallum létrehozásakor.Milton Abramowitz; Irene Stegun, (szerk.) (1983) [June 1964]. "[Irene Stegun Chapter 26]". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 940. . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - Chi-Squared Distribution
Ha szükséges a khí-négyzet-eloszlást megkülönböztetni a nem-centrális khí-négyzet-eloszlástól, akkor szokták néha centrális khí-négyzet-eloszlásnak is nevezni.
A khí-négyzet-eloszlást statisztikák ellenőrzésére használják az elméleti és a megfigyelt értékek kiértékelésénél, összehasonlításánál. A khí-négyzet-eloszlás a gamma-eloszlás egy speciális esete.
Definíció Ha Z1, ..., Zk független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a négyzeteik összege,
a khí-négyzet-eloszlás szerint oszlik el, k szabadságfokkal. Ezt a következőképpen is jelölik:
A khi-négyzet-eloszlásnak egy paramétere van, a k, egy pozitív egész, mely a szabadságfok mértéke.
Valószínűség-sűrűségfüggvény jobbra|bélyegkép|300px | Valószínűség-sűrűségfüggvény
A khí-négyzet-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:
ahol Γ(k/2) a gamma-eloszlást jelöli.
Kumulatíveloszlás-függvény
A kumulatíveloszlás-függvény:
Ahol γ(k,z) az inkomplett gamma-függvény és a P(k,z) a rendezett gamma-függvény . Abban a speciális esetben, amikor k = 2, létezik egy egyszerű képlet:
Ennek az eloszlásnak a táblázatai – rendszerint kumulatív formában – számos helyen megtalálhatók, általában statisztikai csomagokban. Egy zárt formájú közelítés található a nem-centrális khí-négyzet-eloszlásnál.
Additivitás A khí-négyzet-eloszlás definíciója szerint a független khí-négyzet-változók összege is khí-négyzet-eloszlású. Speciálisan, ha {Xi}i=1n független khí-négyzet-eloszlású változók {ki}i=1n szabadságfokkal, akkor is khí-négyzet-eloszlásúak szabadságfokkal.
Az információ entrópiája Az információ entrópiája:
ahol ψ(x) a digamma-függvény. A khí-négyzet-eloszlás az X valószínűségi változó maximális entrópiájú valószínűség-eloszlása, ahol rögzített és is rögzített.
Nem centrális momentumok A k szabadságfokú khí-négyzet-eloszlás zéró körüli momentumai:Chi-squared distribution, from MathWorld, Hozzáférés ideje: Feb. 11, 2009M. K. Simon, Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables, New York: Springer, 2002, eq. (2.35),
Kumulánsok A kumulánsok a karakterisztikus függvény logaritmusának egy hatványsor-kiterjesztésével kaphatók meg:
Aszimptotikus tulajdonságok A centrális határeloszlás tételéből következően mivel a khi-négyzet-eloszlás független k szabadságfokú valószínűségi változók szummája, véges átlaggal és szórásnégyzettel, konvergál a normális eloszláshoz nagy k értékeknél.
Praktikus okok miatt k > 50 esetben az eloszlás elég közel áll a normális eloszláshoz, hogy a különbség elhanyagolható lehessen.
Ha X ~ χ²(k), akkor k tart a végtelenhez, a eloszlás pedig a normális eloszlás felé tart. Azonban ez a konvergencia lassú, mivel a ferdeség , és az eloszlásgörbe meredeksége 12/k. A khí-négyzet-eloszlás más függvényei jóval gyorsabban konvergálnak a normális eloszláshoz. Néhány példa: Ha X ~ χ²(k), akkor közel normálisan eloszlású, középértékkel. Ha X ~ χ²(k), akkor közel normálisan eloszlású középértékkel és szórásnégyzettelWilson, E.B.; Hilferty, M.M. (1931) "The distribution of chi-squared". Proceedings of the National Academy of Sciences, Washington, 17, 684–688. Ezt Wilson–Hilferty-transzformációnak hívják.
Kapcsolódó eloszlások (normális eloszlás) (nem-centrális khí-négyzet-eloszlás nem-centralitás paraméterrel ) Khí-négyzet-eloszlás, a Pareto-eloszlás egy transzformációja T-eloszlás, a khí-négyzet-eloszlás egy transzformációja A T-eloszlás származtatható a khí-négyzet-eloszlásból és a normális eloszlásból A nem-centrális T-eloszlás származtatható a khí-négyzet-eloszlásból és a normális eloszlásból Statisztikailag független egységnyi szórásnégyzetes Gauss-eloszlású változók négyzeteinek szummája, melynek nincs zéró középértéke, a khí-négyzet-eloszlás általánosításához vezet, és nem-centrális khi-négyzet-eloszlásnak hívják. A khí-négyzet-eloszlás természetesen kapcsolódik más eloszlásokhoz, melyeknek a Gauss-eloszláshoz van közük. Például: Y F-eloszlású, Y ~ F(k1,k2) ha ahol X1 ~ χ²(k1), és X2 ~ χ²(k2) statisztikailag független.
Ha X khí-négyzet-eloszlású, akkor khí-eloszlású. Ha és statisztikailag független, akkor . Ha X1 and X2 nem függetlenek, akkor nem khí–eloszlású.
Általánosítás A khí-négyzet-eloszlást a gaussi k, független, zéró középértékű, egységnyi szórásnégyzetű valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk. Ennek az eloszlásnak az általánosítását úgy kaphatjuk, ha összegezzük más típusú gaussi valószínűségi változók négyzeteit. A következőkben bemutatunk néhány ilyen eloszlást.
Khí-négyzet-eloszlások Nem-centrális khí-négyzet-eloszlás A nem-centrális khí-négyzet-eloszlást a független gaussi valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk, melyek egység-szórásnégyzettel és nem zéró középértékkel rendelkeznek.
Általánosított khí-négyzet-eloszlás
Az általánosított khí-négyzet-eloszlást a z′Az kvadratikus képletéből kapjuk, ahol z a zéró középértékű gaussi vektor tetszőleges kovariáns mátrixxal, A pedig egy tetszőleges mátrix.
Gamma-, exponenciális és kapcsolódó eloszlások A X ~ χ²(k) khí-négyzet-eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete, X ~ Γ(k/2, 1/2), ahol k egy egész. Mivel az exponenciális eloszlás szintén a gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért X ~ χ²(2), és X ~ Exp(1/2) egy exponenciális eloszlás. Az Erlang-eloszlás szintén a gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért ha X ~ χ²(k) páros k-val, akkor X is Erlang-eloszlású k/2 alakparaméterrel és ½ skálaparaméterrel.
Alkalmazások A khí-négyzet-eloszlásnak számos alkalmazása ismert a statisztikában, például a khí-négyzet-teszt vagy a szórásnégyzetek becslése. Felveti a normáliseloszlás-középérték becslésének a problémáját és a regressziós vonal meredekségének a becslését a T-eloszláson keresztül. A szórásnégyet-analízis problémájában is van szerepe az F-eloszlással kapcsolatban, mely két független khí-négyzet valószínűségi változó arányának az eloszlása, mindegyik osztva a megfelelő szabadságfokkal. A következő táblázat olyan eloszlásokat mutat be, melyek neve ‘khí’-vel kezdődik, valamilyen statisztikához kapcsolódik, a független valószínűségi változókra alapozva:
Név Statisztika Khí-négyzet-eloszlás Nem-centrális khí-négyzet-eloszlás Khí-eloszlás Nem-centrális khí-eloszlás
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek Valószínűség-eloszlások listája Normális eloszlás Sűrűségfüggvény Skálaparaméter Alakparaméter Gamma-eloszlás Gumbel-eloszlás Eloszlásfüggvény Valószínűségszámítás Statisztika Burr-eloszlás
Jegyzetek
Külső hivatkozások A khí-négyzet-eloszlás a MathWorld-ön A khí-négyzet-eloszlás a Debreceni Egyetem oldalán A khí-négyzet-eloszlás a Yale Egyetem oldalán Szimuláció Rövid leírás
Kategória:Valószínűség-eloszlások