jobbra|bélyegkép|400px |Asszociált Legendre-függvény A Legendre-függvény, Pλ, Qλ, és az asszociált Legendre-függvények P, Q, a Legendre-polinomok általánosításai.http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015023896346
A Legendre-függvényt az elméleti fizikában alkalmazzák, különösen a kvantummechanika és az elektrodinamika területén.
Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapta a nevét.
Differenciálegyenlet Az asszociált Legendre-függvények a Legendre-függvény megoldásai:
ahol λ és μ komplex számok, az asszociált Legendre-függvények jellemzői (fokozat, rend/faj). A Legendre-polinomok a μ=0 fajú asszociált Legendre-függvények. Ez egy másodrendű lineáris egyenlet, három reguláris szinguláris ponttal (1, -1, és ∞).
Mint minden hasonló egyenlet, átalakítható hipergeometrikus differenciálegyenletté, a változók cseréjével, és megoldásai a hipergeometrikus függvények felhasználásával adhatók meg. Definíció Ezeket a függvényeket általános komplex paraméterekkel és argumentummal lehet definiálni:
ahol a gamma-függvény és a hipergeometrikus függvény.
A másodrendű differenciálegyenletnek van egy második megoldása, , :
Integrálos ábrázolás
A Legendre-függvény felirható kontúr integrálokként is. Például:
Ahol a kontúr körök az 1, és z pontok körül pozitív irányban, és nem a -1 körül értelmezendők. Valós x –re, kapjuk:
Legendre-függvény, a harmonikus analízisben
valós integrálos ábrázolása, igen hasznos a harmonikus analízisében, ahol , a dupla coset-tere (lásd zónás gömb-függvény).
Fourier-transzformáltja:
ahol
Irodalom
Kapcsolódó szócikkek http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015023896346 http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreQ2General/ http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendrePGeneral/ http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreP2General/ Legendre-polinomok Differenciálegyenlet Hipergeometrikus függvény Fourier-transzformáció Jegyzetek
Kategória:Függvények