A matematikában az elliptikus görbe sima harmadfokú görbe a projektív síkban, amelynek nemszáma 1.
A valós pontokból álló elliptikus görbék egyenlete az
alakra hozható.
A szingularitások kizárására még fel szokták tenni, hogy . Általánosabban, az együtthatók lehetnek más testek elemei is; ekkor a görbe pontjainak koordinátái is ebből a testből valók. Szóba jöhetnek a komplex számok, a racionális számok és a véges testek. A kettő és a három karakterisztikájú testekben a harmadfokú egyenletek nem hozhatók a fenti alakra, így vagy más alakokat használnak, vagy nem törődnek ezekkel a testekkel.
Ha , ahol P harmadfokú polinom egyszeres gyökökkel, akkor újra elliptikus görbét kapunk. Ha P negyedfokú és négyzetmentes, akkor szintén síkgörbét kapunk, aminek nemszáma 1. Ezen azonban nincs olyan pont, ami a görbén vett csoport természetes neutrális eleme lenne. Általánosabban minden 1 nemszámú algebrai görbét elliptikus görbének neveznek, például két másodfokú felület metszetét.
Matematikai fontosságuk abban áll, hogy összekapcsolják a matematika különböző részterületeit. Andrew Wiles 1994-ben az elliptikus görbék felhasználásával látta be a modularitási tételt, amiből már következett a nagy Fermat-tétel. Felhasználják őket titkosírásokhoz, mivel velük egyszerűen lehet egyirányú függvényeket definiálni. Egyes módszerek elliptikus görbéket használnak természetes számok faktorizálásához.
Az elliptikus görbe elnevezés onnan származik, hogy elliptikus integrálokat paramétereznek. Nem tévesztendők össze az ellipszissel.
Valós elliptikus görbék A valós elliptikus görbék azokat az pontokat tartalmazzák, amelyek adott valós és paraméterekre megoldják az Weierstrass egyenletet. A szingularitások kizárásához kikötjük, hogy . Ez a Δ mennyiség az elliptikus görbe diszkriminiánsa. Ha a görbe diszkriminánsa pozitív, akkor a görbének két ága van; ha negatív, akkor egy. A nulla diszkrimináns csúcsot, önátmetszést vagy izolált pontot jelentene. A diszkriminánsban levő -16 szorzótényező kényelmesebbé teszi alkalmazását az elliptikus görbék elméletében.
Racionális elliptikus görbék A racionális számok fölötti elliptikus görbék a számelmélet érdeklődésére tarthatnak számot. Sok fontos sejtés foglalkozik velük, például a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés, ami a modern matematika egyik legfontosabb kérdése, és az elliptikus görbék számelméletéről szól.
A racionális görbén definiált csoport részcsoportja a valós görbén vett csoportnak. Az összes racionális pont megszerkeszthető egy véges ponthalmazból az érintők és a szelők módszerével. A Mordell–Weil-tétel szerint az E(Q) csoport végesen generált. A végesen generált Abel-csoportok alaptétele szerint előáll véges sok ciklikus csoport, -vel és véges ciklikus csoport direkt összegeként. A tétel a végtelen leszállás egy módosított változatával bizonyítható. A tétel nem hatékony, mivel nem ad módszert E(Q)/mE(Q) reprezentánsainak meghatározásaira, ahol m tetszőleges pozitív egész. A görbe rangja A görbe rangja a -vel izomorf csoportok számát adja meg ebben a direkt összegben. Ez megegyezik a végtelen rendű független pontok számával. A rang meghatározásával a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés foglalkozik. A sejtés szerint a rang akármekkora lehet, annak ellenére, hogy csak kis rangú példák ismertek. A legnagyobb ismert rangú elliptikus görbe az y2 + xy = x3 − 26 175 960 092 705 884 096 311 701 787 701 203 903 556 438 969 515x + 51 069 381 476 131 486 489 742 177 100 373 772 089 779 103 253 890 567 848 326 775 119 094 885 041.
Rangja 18, Noam Elkies fedezte fel 2006-ban. Ismertek továbbá legalább 28 rangú elliptikus görbék, de pontos rangjuk ismeretlen.
Az E(Q) csoport torziórészcsoportjáról Barry Mazur egy tétele alapján tudjuk, hogy a következők egyike: Z/NZ, ahol N = 1, 2, …, 10, vagy 12; Z/2Z × Z/2NZ, ahol N = 1, 2, 3, 4. Mindegyikre vannak példák. Sőt, azok az elliptikus görbék, amelyek Mordell–Weil-csoportjainak ugyanaz a torziócsoportjuk, ugyanahhoz a paraméterezett görbecsaládhoz tartoznak. Fontos tételek, sejtések A Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés a millenniumi problémák körébe tartozik. A szóban forgó elliptikus görbét analitikai és algebrai szempontból vizsgálja. Definiál egy, a Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlító függvényt; ez a Hasse–Weil-féle zéta-függvény, ami az eredeti függvényhez hasonlóan kiterjeszthető majdnem az egész komplex számsíkra. Ezzel a függvénnyel vizsgálja a görbét, és ebből következtet a görbén megvalósuló csoport szerkezetére. Azt állítja, hogy a függvény értéke az 1 helyen éppen a görbe rangja, és az e pont körüli Laurent-sorának főegyütthatója megegyezik egy, a görbe fontos mennyiségeiből képzett termnek.
A korábban Taniyama–Shimura–Weil sejtésként ismert modularitási tétel szerint minden racionális elliptikus görbe moduláris, vagyis a Hasse–Weil-féle zétafüggvény egy N szintű és 2 súlyú moduláris forma L-függvénye, ahol N az elliptikus görbe konduktora, vagyis az a szám, aminek prímosztói megegyeznek a görbe diszkriminánsának prímosztóival. A tételt 1999-ben bizonyították be Andrew Wiles ötletei alapján, aki már 1994-ben belátta elliptikus görbék egy nagy családjára.A synthetic presentation (in French) of the main ideas can be found in this Bourbaki article of Jean-Pierre Serre. Részletesen lásd Az 1950-ben megfogalmazott sejtést több alakban is ismerték. A 20. század második felében belátták, hogy mindegyik ugyanolyan nehéz.
A nagy Fermat-tétel könnyen belátható a modularitási tétel felhasználásával. Ha p > 5-re az egyenletnek lenne megoldása, akkor az elliptikus görbe, aminek diszkriminánsa , nem lenne moduláris.K. Ribet « From the Taniyama–Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem », Annales de la Faculté des sciences de Toulouse 11 (1990), 116–139. Egész pontok A görbe egész pontjai azok a pontok, amelyeknek az első koordinátájuk egész. C. L. Siegel egy tétele szerint az elliptikus görbék véges sok egész pontot tartalmaznak. A tétel általánosítható olyan első koordinátákra, amelyek nevezőjének prímtényezői egy adott véges halmaz elemei. Például, ha E elliptikus görbe, együtthatói egészek, és a H közös korlát alatt vannak, akkor az E-n levő (x, y) pontok száma, ahol x és y is egész:
Például az egyenletű görbe nyolc olyan pontot tartalmaz, aminek mindkét koordinátája egész, és y > 0 :T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59. (x,y) = (−1,4), (−2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5234,378 661).
Egy másik példa az y2 = x3 − 2x egyenletű görbe, ami mindössze négy olyan pontot tartalmaz, aminek mindkét koordinátája egész, és y ≥ 0 : . (x,y) = (0,0), (−1,1), (2, 2), (338,6214).
Általános számtestek A valós, illetve racionális testek fölötti eredmények nagy része érvényben marad a racionális számok véges algebrai bővítése esetén is. Ha E elliptikus görbe a K test fölött, akkor az E(K) pontok végesen generálhatók, ami a racionális pontokról szóló Mordell–Weil-tétel általánosítása. Loïc Merel egy tételében megmutatta, hogy egy adott d kiterjesztési fokhoz (izomorfizmus erejéig) véges sok különböző torziócsoportja lehet az E(K) csoportoknak. Pontosabban,L. Merel, « Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres », Inventiones Mathematicae 124 (1996), No. 1–3, 437–449. van egy B(d) szám, hogy bármely, a K test fölötti E elliptikus görbe bármely torziópontjának rendje kisebb, mint B(d), ha a K:Q testbővítés foka d, és az összes d fokú bővítésre ugyanaz a B(d) jó. Ha d > 1, és p prím, akkor .
Az egész pontokról szóló Siegel-tétel így általánosítható: Legyen E elliptikus görbe a K test fölött, és x és y a pontok Weierstraß-koordinátái! Ekkor a görbe azon pontjainak száma, amelyek x koordinátája az OK gyűrű eleme, véges.
A Hasse–Weil-féle zétafüggvény és a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés is kiterjeszthető erre az általánosabb esetre.
Komplex elliptikus görbék Ha a komplex számokra, mint a komplex számsík elemeire gondolunk, akkor az elliptikus görbék kétdimenziós felületek lesznek a négydimenziós térben. Habár ezek a felületek nem jeleníthetők meg három dimenzióban, mégis tehetünk kijelentéseket az alakjukról, például ismerhetjük a nemszámukat.
Komplex tóruszok Legyen rács a komplex számsíkon. Ekkor a egydimenziós kompakt, kommutatív, komplex Lie-csoport, ami valósnak tekintve izomorf a tórusszal. Jelölje a rács generátorait ; ekkor a hányados:
amiből a tórusz a szemközti oldalak azonosításával keletkezik. Kapcsolat a Weierstraß-féle p-függvénnyel
Ha rács a komplex számsíkban, akkor a hozzá tartozó Weierstraß-féle p-függvény és deriváltja a
beágyazást definiálja, melynek képe a nem szinguláris
harmadfokú görbe. Minden nem szinguláris harmadfokú görbe izomorf egy így előálló görbével, ahol az izomorfia azt jelenti, hogy a megfelelő rácsok hasonlók, vagyis egy nem nulla komplex számmal való szorzással átvihetők egymásba. Az izomorfiaosztályokat j-invariánsokkal különböztetik meg egymástól. A g2 és g3 komplex számok a görbe moduláris invariánsai, amiket a rács, ezzel együtt a tórusz szerkezete egyértelműen meghatároz.
A Weierstraß-féle p-függvény periodikus egy Γ rácsra, így természetesen definiálható a T = C/Γ tóruszon. A tórusz a leképezéssel ágyazható a komplex síkba. Ez a leképezés csoportizomorfizmus, ami átviszi a tórusz természetes csoportszerkezetét a komplex számsíkra. Riemann-felületként tekintve is izomorfizmus, így az elliptikus görbe topológiailag is tórusznak néz ki.
A komplex számok teste tartalmazza minden valós polinom felbontási testét, így az elliptikus görbe írható
alakban.
A moduláris invariánsok kiszámítása ebből az alakból:
és
ahonnan a moduláris diszkrimináns:
ahol λ a moduláris lambdafüggvény.
Az uniformizációtétel szerint minden egy nemszámú Riemann-felület reprezentálható tóruszként.
A komplex számok fölötti elliptikus görbéken kilenc inflexiós pont van. Minden olyan egyenes, ami áthalad két inflexiós ponton, áthalad egy harmadikon is. A kilenc inflexiós pont és a 12 rájuk illeszkedő egyenes Hesse-konfigurációt alkot.
Osztályozása A rács két egydimenziós komplex tórusza, és akkor és csak akkor izomorf, mint komplex Lie-csoport, ha a két rács hasonló, vagyis forgatva nyújtással átvihetők egymásba. Minden rács hasonló egy alakú rácshoz, ahol a felső félsík, azaz a halmaz eleme; ha generátorok, akkor választható vagy egyikének. A különböző választások megfelelnek az speciális lineáris csoport egy elemének hatásával a felső félsíkra, ahol az elem az
alakban adható meg. A felső félsík két eleme, akkor és csak akkor definiál izomorf és elliptikus görbéket, ha és ugyanazon az pályán fekszenek; az elliptikus görbék izomorfiaosztályai megfelelnek az
hányadostérnek. Ezt a hányadost a j-függvény bijektíven leképezi -re, ahol is a j-függvény értéke megegyezik a fenti harmadfokú görbe j-invariánsával.
Véges testek fölött
A véges testek fölött is definiálhatók elliptikus görbék. Ekkor a görbét tartalmazó projektív sík véges sok pontból áll, ami sok esetben egyszerűbbé, más esetekben bonyolultabbá teszi a számításokat. Egyszerűbb, mert véges sok pont van, és bonyolultabb, mert vannak 2 és 3 karakterisztikájú véges testek, ahol az elliptikus görbék egyenletei nem egyszerűsíthetők a többi test fölött használt alakra.
Sok mindent tudunk róluk, például vannak becslések arra, hogy hány pontjuk lehet; más kérdések nehezebbek, például itt is felvethető a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés. A bizonyos véges testek fölött elért eredmények nagy részét a racionális testre is általánosítani próbálják.
thumb|right|275px|Az y2 = x3 − x elliptikus görbe affin pontjai a test fölött. A következőkben K = Fq alaptestet, és E egy K fölötti görbét jelöl. Hasse elliptikus görbékről szóló tétele megbecsüli az elliptikus görbe pontjainak számát:
A becslés szerint az elliptikus görbék pontszáma együtt nő az alaptest méretével. A bizonyítás általánosabb elméletet igényel.
thumb|left|275px|Az y2 = x3 − x elliptikus görbe affin pontjai a test fölött.