A dimenzióanalízisben a dimenziómentes mennyiség vagy 1 dimenziójú mennyiség olyan mennyiség, melyhez nem társul fizikai dimenzió. Ennél fogva tehát ez csak egy „egyszerű szám”, a dimenziója mindig 1. A dimenziómentes mennyiségek széles körben használatosak a matematikában, fizikában, mérnöki és gazdaságtudományban, valamint a mindennapi életben (pl.: számlálás). Számos jól ismert mennyiség, úgymint: π, e, és φ, dimenzió nélküli. Ezzel ellentétben a nem dimenziómentes mennyiségeket hosszúság-, terület-, idő-, stb. egységekben mérjük.
A dimenziómentes mennyiségeket gyakran nem dimenziómentes mennyiségek szorzataként, vagy hányadosaként definiáljuk, melyek dimenziója a művelet során kiesik. Ez a helyzet például a deformáció mértékének esetében, melyet a hosszúságváltozás és az eredeti hossz hányadosaként definiálunk. Mivel mindkét mennyiség dimenziója L (hosszúság, az angol length szóból), az eredmény dimenziómentes mennyiség lesz.
Tulajdonságok
Bár a dimenziómentes mennyiségekhez nem társul fizikai dimenzió, dimenziómentes mértékegységük azért lehet. A mért mennyiség közlése érdekében néha hasznos ugyanazt a mértékegységet írni a számlálóba és a nevezőbe, pl.: kg/kg a tömegtört, mol/mol a móltört esetében. Egy mennyiség megadható két különböző mértékegység hányadosával is, melyeknek ugyanakkor a dimenziója azonos (például fényév/méter). Ez az eset áll fenn görbék meredekségének számításakor, vagy mértékegységek átváltásakor. Ez azonban kizárólag jelölésbeli megállapodás, ami nem jelenti semmiféle fizikai dimenzió meglétét. Ilyen dimenziómentes egység a % (= 0.01), ‰ (= 0.001), ppm (= 10−6), ppb (= 10−9), ppt (= 10−12), a szögegységek (fok, radián, gradián), vagy a tucat. Két azonos dimenziójú mennyiség hányadosa dimenziómentes, és értéke állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékegységgel számolunk. Ha például egy A test F erővel hat egy B testre, B test pedig f erővel hat A testre, akkor az F/f hányados mindig 1-gyel egyenlő, bármi legyen is F és f mértékegysége. Ez a dimenziómentes arányok alapvető tulajdonsága, mely abból a feltételezésből következik, hogy a fizikai törvények függetlenek a kifejezésükre használt mértékegységrendszertől. Jelen esetben, ha az F/f arány nem lenne mindig 1, hanem értéke megváltozna, ha SI helyett CGS-ben számolnánk, az azt jelentené, hogy Newton harmadik törvényének érvényessége attól függ, milyen mértékegységrendszert használunk, ami ellentmondana ennek az alapfeltételezésnek. Ez a feltevés az alapja Buckingham Π-tételének. E tétel egyik állítása az, hogy bármely fizikai törvény kifejezhető egy matematikai azonosságként, kizárólag az adott törvénnyel kapcsolatos változók dimenziómentes kombinációinak (szorzatának vagy hányadosának) felhasználásával (pl.: a Boyle–Mariotte-törvény a nyomást és a térfogatot kapcsolja össze, melyek fordítottan arányosak). Ha a dimenziómentes kombinációk értéke megváltozna egy másik mértékegységrendszerben, akkor az egyenlet nem lenne azonosság, és Buckingham tétele nem állna.
Buckingham-féle Π-tétel
Buckingham Π-tételének másik kijelentése, hogy egy n számú változó közti összefüggés átalakítható n-k független dimenziómentes mennyiség közötti összefüggéssé, ahol k az eredeti összefüggésben előforduló alapmennyiségek száma. A kísérletező számára egyenértékűek mindazok a különböző rendszerek, melyek dimenziómentes mennyiségekkel azonos módon írhatók le.
Példa
Egy adott formájú keverő teljesítményszükséglete a kevert folyadék sűrűségének és viszkozitásának, valamint a keverő átmérőjének és fordulatszámának függvénye. Példánkban tehát n = 5 változó szerepel.
Ez az n = 5 változó k = 3 dimenzióból épül fel:
Hosszúság: L (m) Idő: T (s) Tömeg: M (kg)
A Π-tétel szerint a változók n = 5 száma csökkenthető a dimenziók k = 3 számával, így p = n - k = 5 - 3 = 2 független dimenziómentes számot kapunk, melyek a keverő esetében:
a Reynolds-szám (a folyadékáramlást leíró dimenziómentes szám) a keverési Euler-szám (a keverőt írja le, de a fluidum sűrűségét is tartalmazza; keverési Newton-számnak is nevezik).
Szabványosítási törekvések
Az International Committee for Weights and Measures (Súly- és Mértékügyi Nemzetközi Bizottság) fontolgatta az 1 egység „uno”-ként való bevezetését, de végül elvetették az ötletet.
Példák
Sára azt mondja: „Minden 10 almából amit leszedek, 1 rothadt.” A rothadt/leszedett arány (1 alma) / (10 alma) = 0,1 = 10%, ami egy dimenziómentes mennyiség. A síkszög egy arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és egy másik hosszúságnak az aránya. A hányados dimenziómentes, ugyanis hosszúság / hosszúság = 1. A radián esetében az ív hosszát a kör sugarához, a fok esetében a kör kerületének 1/360-ad részéhez viszonyítjuk. A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként kapott π dimenziómentes mennyiség, melynek számértéke állandó, függetlenül attól, milyen egységben mérjük a kerületet és az átmérőt (cm, mérföld, fényév, stb.), de természetesen a kettő mértékegységének meg kell egyezni.
Néhány fontosabb dimenziómentes szám
Név Jelölés Definíció Archimedes-szám Ar Euler-szám Eu Froude-szám Fr Galilei-szám Ga Grashof-szám Gr Reynolds-szám Re Weber-szám We Nusselt-szám Nu Prandtl-szám Pr Péclet-szám Pe Stanton-szám St Fourier-szám Fo Biot-szám Bi Rayleigh-szám Ra Sherwood-szám Sh Schmidt-szám Sc Lewis-szám Le Péclet'-szám Pe''' || |- | Stanton-szám || St''' Dimenziómentes fizikai állandók
Bizonyos alapvető fizikai állandók, úgymint a fénysebesség vákuumban, a gravitációs állandó, a Planck-állandó és a Boltzmann-állandó értéke 1, ha az idő, hosszúság, tömeg, töltés és hőmérséklet egységeket megfelelően választjuk meg. Eredményül az ún. természetes mértékegységrendszert kapjuk.
α, a finomszerkezeti állandó, csatolási (kapcsolati) állandó, mely az elektromágneses kölcsönhatás erősségét jellemzi: α ≈ 1/137; μ vagy β, a proton-elektron tömegarány, a proton és az elektron nyugalmi tömegének hányadosa: μ ≈ 1836; αs, az erős kölcsönhatás csatolási állandója; αG, a gravitáció csatolási állandója: αG ≈ 1.75×10−45.
Fordítás
Hivatkozások
Kategória:Fizikai mennyiségek Kategória:Számelmélet