A Toeplitz-sejtés, más néven a beírt négyzet problémája a geometria egy megválaszolatlan kérdése. A kérdés ez: Tartalmazza-e minden egyszerű zárt síkgörbe egy négyzet összes csúcsát? Speciális esetekben ismert a válasz, például konvex, vagy szakaszonként sima görbékre. Otto Toeplitz 1911-ben vetette fel.Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197. Már Arnold Emch. és Lev Schnirelmann. is igenlő választ adott egyes speciális esetekre. Az általános eset azonban még 2012-ben is megoldatlan maradt. Áttekintés Legyen C Jordan-görbe. A P poligon C-be van írva, ha C P összes csúcsát tartalmazza. A Toeplitz-sejtés kérdése tehát így hangzik:
Tartalmaz-e minden zárt síkbeli Jordan-görbe beírt négyzetet?
Nincs megkövetelve, hogy a csúcsokat a bejárás szerinti sorrendben tartalmazza. Ha C tompaszögű háromszög, akkor a beírt négyzet egyértelmű.
A legáltalánosabb eredményt Stromquist adta, ami minden lokálisan monoton görbére igenlő választ ad.. Ez azt jelenti, hogy a görbe minden pontjának környezete előáll függvénygrafikonként. Pontosabban, ha C görbe, és p tetszőleges pontja C-nek, akkor van egy U(p) környezet, hogy C-nek nincs az n(p) iránnyal párhuzamos húrja, ahol n(p) a helyi normális. EZ magában foglalja a konvex görbéket.
Az igenlő válasz középpontosan szimmetrikus görbékre is ismert.. Változatai és általánosításai Meg lehet kérdezni azt is, hogy milyen további alakzatok írhatók egy tetszőleges Jordan-görbébe. Ismert, hogy bármely T háromszögre és Jordan-görbére a görbébe beírható egy T-hez hasonló háromszög... Sőt, az ilyen háromszögek csúcsai sűrűek a görbén.. Speciálisan, egyenlő oldalú háromszög is írható tetszőleges Jordan-görbébe. Ismert, hogy téglalap is írható tetszőleges Jordan-görbébe.
A probléma egyes általánosításai beírt sokszögekkel foglalkoznak. Még általánosabban, magasabb dimenziós terekben nem üres, összefüggő, kompakt metrikus tereket keresnek. Stromquist például belátta, hogy minden Rn-beli görbének van beírt egyenlő oldalú és egyenlő átlójú négyszöge, amelynek minden pontjának egy alkalmas környezetében nincsenek merőleges húrjai. Ez a görbeosztály tartalmazza az összes C2-görbét, azaz a kétszer folytonosan differenciálható görbéket. Nielsen és Wright megmutatta, hogy minden Rn-beli szimmetrikus kontinuum sok beírt téglalapot tartalmaz. H.W. Guggenheimer bebizonyította, hogy minden, az n-gömbhöz C3-diffeomorf hiperfelület tartalmazza az euklideszi n dimenziós kocka 2n csúcsát..
Jegyzetek
Ajánlott irodalom Victor Klee and Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991 Külső linkek Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem Inscribed squares: Denne speaks at Jordan Ellenberg's blog Kategória:Görbék Kategória:Sejtések