Idősornak az olyan statisztikai megfigyeléseket nevezzük, amelynek elemeit egymást követő időpontokban (időszakokban) regisztrálták, és ez az időbeliség az adatok fontos tulajdonsága.
Példa lehet: egy bolt napi forgalmának egy hosszabb időszakon keresztül összegyűjtött adatsora. egy termék országos terjesztésénél a hetenként értékesített mennyiségek sora. buszjárat utasainak száma óránként. üdülőhely szállodáiban a szobák napi kihasználtsága. populáció egyedszámának időben változó sora (pl. népesség, sejttenyészet stb.).
Az idősoros megfigyeléseket tekinthetjük a teljes statisztikai populációnak is de gyakrabban feltételezzük, hogy az megfigyelések az valószínűségi változók (sztochasztikus folyamat) realizációi. Eszerint egy statisztikai minta, melyből a populációban meglévő összefüggésekre kívánunk következtetni.
Szűkebb értelemben megköveteljük, hogy a mintavételezés szabályos időközönként történjen, de ha ez a feltétel nem teljesül, az idősor elemzésének néhány fázisa ekkor is elvégezhető (értelmezhető).
Szabályos idősorok modellezésére az egyszerűbb sorozat-függvényt használjuk, azaz a mintavételezés egzakt időpontjai (dátum, hh:mm:ss) helyett csak a minták sorszámával azonosítjuk az adatokat és sorrendjüket. Szabálytalan adatsorban lehetnek egyenetlenek az intervallumok vagy általában azonosak, de néhány időpontban hiányzik az adat.
Elemzés Az idősorok elemzésére a legtöbb általános statisztikát (statisztikai függvényt) alkalmazhatjuk: az átlag (számtani-, kronologikus- stb.), a szórás, a terjedelem stb. kiszámítható, értelmezhető. Azonban az adatok feltételezett időbeli struktúrája komolyabb elemzést is lehetővé tesz. Például az elemi vizsgálatokon túl lehetőség-szükség lehet olyan számításokra, amelyek a vizsgált mennyiség jövőbeli alakulására adnak becslést (prognózis). Erre mutatunk egy példát:
bélyegkép|bal|A munkalap Egy szezonális árucikk (pl. fagylalt, napolaj) forgalmazásának havonkénti adatait tartalmazza az Excel-munkatábla (C/Idősor/Y) oszlopa. Az első oszlopban látható, hogy a mintavételezést 5 éven (60 hónap) keresztül végezték. Az illusztrációban közömbös, hogy az elemek a havi bevételt (MFt-ban), vagy az eladott termék tömegét (tonnában, literben, dobozokban) adják meg. Első lépésben az adatok grafikus ábrázolásával „megsejthető” a folyamat irányzata (trend), ami a példában lineárisan emelkedőnek tűnik. (Más példában tapasztalhatunk exponenciális, logaritmikus stb. változásra utaló tendenciát.) A trend értékeit (itt) a T = m.t + b formulának megfelelően kiszámíthatjuk. Ezt tartalmazza a táblázat (D/Trend/T) fejlécű oszlopa. bélyegkép|bal|Az adatsor és a trend Az idősort és a trendvonalat ábrázoló grafikonból látszik, hogy a mért (Y) és a számított (T) értékek különbsége szabálytalan sorozatot alkot: fluktuáció (ingadozás). Ennek a sztochasztikus (véletlenszerű) adatsornak az értékeit kiszámíthatjuk: a táblázat (E/Fluktuáció/Y-T) oszlopa. bélyegkép|A trendre rakodó fluktuáció Az F = T-Y adatsor grafikonjából (és természetesen az árucikk szezonális jellegéből) következtethetünk arra, hogy a fluktuációt két hatás okozza, s ezek közül az egyik valamilyen periodikus (ún. szezonális = S) komponens (itt az éghajlat), melyre rárakódik egy véletlenszerű (random =R) perturbáció. Ezért az eredeti adatsort (Y) három komponensekre bonthatjuk – trend (T), szezonális (S) és véletlen (R). A feltételezett matematikai modell tehát így írható:
Y(t) = T(t) + S(t) + R(t)
Második lépésben a periódus meghatározása (becslése) alapján kiszámítjuk az egyes szezonok azonos időszakában számított fluktuációknak az átlagát és a szórását. Az Excel-tábla E-F-G-H-I oszlopaiban láthatók az egyes évek azonos hónapjaihoz tartozó számított értékek (halvány zöld alapszínnel kiemelt cellák), ezek soronkénti átlaga és szórása a munkalap J ill. K oszlopába kerültek. A statisztikai adatfeldolgozási gyakorlatban használt ú.n. három-szigma szabályt alkalmazva meghatározhatjuk annak a (konfidencia)intervallumnak a felső (max) és alsó (min) határát, amelybe a fluktuáció esik. bélyegkép|bal|A szezonális közép és hibahatára bélyegkép|jobb|A prognózis A prognózist ezek után úgy adhatjuk meg, hogy a T = m.t + b formulával kiszámítjuk a következő év hónapjaira a trendet (prognózis-közép) az egyes t időpontokban a trendhez a konfidenciahatárokat hozzáadjuk Ymin(t) ~ T(t) +min(t) Ymax(t) ~ T(t) +max(t)
Az ábrán e két számsor által meghatározott (interpolált) görbe adja a becslés konfidenciasávját 99%-os megbízhatósági szinten.
Megjegyzések A szezonális komponenst esetenként lehet valamilyen periodikus függvénnyel közelíteni, de a gyakorlatban ez ritkán szükséges. A szezonális komponens számításakor gyakran nem abszolút számokkal, hanem a trendhez viszonyítottakkal (trend = 100%) is dolgoznak, ha feltételezhető, hogy a magasabb értékek tartományában a szezonális és a véletlen komponensek is nagyobbak. Ha a szezonális komponens periódusának meghatározása nehézkes, nem egyértelmű esetleg nem is „igazi periodicitást” mutat az adatsor, akkor a fluktuációt 3-5-7 tagú mozgó átlagokkal szokták modellezni. Ilyenkor a konfidenciasávot a teljes minta 3×szórásával állandónak tételezhetjük fel.
Excel parancsfájlok felhasználása az idősorkutatásban Az Excel messze legfontosabb előnye, hogy az Office csomag elterjedése miatt szinte mindenhol megtalálható. Általános elérhetősége egyben azt is jelenti, hogy az emberek és a kisvállalkozások, akik a drága, és folyamatosan friss verziókkal jelentkező szoftvereket nem képesek megvásárolni – elemzési-prognosztikai eszköztárát is erősítheti. Megemlítjük továbbá azt a fontos tényt, hogy a statisztika oktatásában ma már Magyarországon, a nagyobb egyetemeken és főiskolákon az Excel, mint táblázatkezelő szoftver elterjedt, főként könnyű elérhetősége okán. A Microsoft Excel alapszolgáltatásainak használata terjedt el az oktatásban és az üzleti életben Magyarországon, pedig Excel ennél többre képes, lehet batch file-okat, kötegelt parancsállományokat (a továbbiakban parancsfájlokat, illetve programokat) készíteni. Véleményünk szerint az adatelemzés öt szintje oldható meg az Excellel: Az első szint az, amikor a Függvény beszúrása varázslót (ikont) használjuk, tehát beépített statisztikai, matematikai és trigonometriai, mátrix, adatbázis, stb. függvényeket alkalmazunk. A második szint, amikor az Eszközök – Adatelemzés menüpont szolgáltatásait (pl. regresszió, trendszámítás, előrejelzés stb.) használjuk. A harmadik szint, amikor magunk írunk konkrét adatsorhoz vagy adatsorokhoz képleteket, mivel nem minden feladathoz áll rendelkezésre megírt függvény. A negyedik szint az, amikor parancsfájlokat készítünk – vagyis a harmadik szintet általánosítjuk – aminek felhasználásával az általunk megadott adatbázis terjedelméig (ez az adatbázisok sajátosságainak függvényében 25 – 10000 megfigyelés) új adatbázisok felhasználásával korlátlan számban számításokat végezhetünk a programozott képletek, illetve függvények alkalmazásával. Gyakran igen sok számítást kell elvégezni. Eben az esetben az idővel való takarékos gazdálkodás a cél, mert gyakran a harmadik szintnél egy feladatsor számításainak elvégzése több óra, vagy több nap, amit a parancsfájlok felhasználásával egy perc alatt el lehet végezni. Az ötödik szint az, amikor a feladat a hagyományos módon nem oldható meg. A logisztikus trendek, a sztochasztikus idősorkutatás (pl.: ARIMA) és egyéb speciális trendfüggvények esetében a függvényeket nem lehet lineárisra transzformálni, a cél megkeresni azokat a paramétereket, amelyek mellett az illesztés a legpontosabb. A logisztikus regressziós függvények nem linearizálhatók, de iterációs eljárással, a paraméterek változtatásával a paraméterek becsülhetők, meghatározható egy olyan függvény, ahol a többszörös determinációs együttható a legnagyobb, illetve az eredeti- és becsült adatok közötti eltérésnégyzetösszeg a legkisebb. Az Excel a Visual Basic for Applications (VBA) felhasználásával programozható, így ezek a feladatok egy iterációs eljárással megoldhatók. A negyedik és ötödik szint további előnye az, hogy szakértői értékelésre is felhasználhatók, vagyis javaslatot lehet tenni a különböző modellek elfogadására vagy elutasítására. Az ismertetett Excel parancsfájlok az idősorkutatás területén hatékonyan alkalmazható a dekompozíciós és sztochasztikus idősorelemzés területén. Excel parancsfájlok. 2006–2014. A Pécsi Tudományegyetem Közgazdaságtudományi Karán Sipos Béla és Kehl Dániel PTE KTK Munkatársak. Dr. Kehl Dániel, adjunktus Magyarországon elsőként dolgozták ki az Excel parancsfájlokat, megoldották az iterációs problémákat is, pl. 12 féle logisztikus trend, ARIMA modellek https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_integrated_moving_average Autoregressive integrated moving average] stb. becslése. Letölthető a kézikönyv és a parancsfájlok: PTE KTK Gyakorlati alkalmazások. A következőkben bemutatunk néhány bonyolultabb idősorkutatási modellt, amelyek használata a kidolgozott Excelparancsfájlok esetében egyszerű, felhasználó barát. A munkalapokat egységes szerkezetben építettük fel. A változtatható, illetve megadható vagy megadandó adatokat sárga mezők jelölik, az eredményeket pedig egységes struktúrában, illetve szóhasználattal kívántuk megjeleníteni. A megértéshez szükséges végeredmények, és az egyes cellák számításához használt képletek valamennyi cella esetén láthatóak. Természetesen a képletek, függvények olvasásához alapvető táblázatkezelési ismeretek elengedhetetlenek, ezzel a számítás menete követhetővé válik. Szintén nagyon fontos, hogy egyetlen cella, vagy vezérlőelem (Checkbox, legördülő menü stb.) megváltoztatása az eredmények azonnali változását vonja maga után Office 2010: Beállítások: Fájl – Beállítások. Az Excel beállításai, innen azonos a beállítások módosítása az Office 2007-ben leírtakkal. Kattintson az Adatvédelmi központ (Trust Center) elemre, majd Az Adatvédelmi központ beállításai (Trust Center Settings) gombra végül a Makróbeállítások (Macro Settings) elemre. Kattintson a kívánt beállításra, a választás: Az összes makró engedélyezése. (Enable all macros) Minden választás után Ok. Kattintson a Bővítmények (Add-Ins) gombra, majd válassza a Kezelés – Excel bővítményeket alul, az ugrást választva a Bővítményeket bejelölheti (Manage: Excel Add-Ins, Go, megjelenik: Analysis Tool Pak, érdemes a többit is bejelölni.). A Bővítményeket az Excel installálja. A Bővítmények megjelennek: Adatok – Adatelemzés ikonnál. (Data – Data Analysis) Körkörös hivatkozás esetén, ha iterációt végez az Excel, az Excel által javasolt módósítás: Az Excel beállításai – Képletek – Közelítés engedélyezése. A logisztikus trendek és logisztikus regressziós függvények valamint a simit (exponenciális simítás) ARIMA, esetében még a következő beállításokra van szükség: Eszközök – Bővítménykezelő – Solver beikszelni, vagy ha be van jelölve kiszedni a bejelölést, kilépni, lementeni, belépni és újra bejelölni a Solvert. (A többi bővítményt is célszerű bejelölni) Továbbá: Eszközök – Makró – Visual Basic Editor – Tools (felül) – References – Solver legyen bejelölve. Megoldható úgy is, hogy Alt+F11 Tools, Preferences, és ki kell jelölni (pipa jel) a SOLVER feliratot, ha nem volt bejelölve. Az Excel beállításai. Menüszalag testreszabása-Fő lapok-Jelölje be: Fejlesztőeszközök. Ok. Megjelenik a Fejlesztő eszközök szalag, azon belül Visual Basic-Tools-References-Solvert be kell jelölni. Kilépés után mindig menteni kell.
A ciklikus (periodikus) mozgás modellezése
A ciklikus (periodikus) mozgás sémáját az alábbiakban mutatjuk be, ami, a fizikából ismert harmonikus rezgés modelljére épül, melyben az 1. szakasz a pangás, (depresszió), 2. szakasz a megélénkülés, (expanzió), 3. szakasz a fellendülés, (prosperitás), 4. szakasz pedig a válság (recesszió vagy hanyatlás) időszaka.