A Beal-sejtés egy számelméleti sejtés, amit Andrew Beal posztulált 1993-ban. A Fermat-sejtés általánosításait vizsgálva a következő sejtést alkotta meg:
Ha
ahol A, B, C, x, y és z pozitív egészek úgy, hogy x, y, z > 2, akkor A, B és C rendelkezik közös prímosztóval.
Annak, aki bizonyítással vagy cáfolattal áll elő, és ezt megjelenteti egy lektorált szakfolyóiratban, Beal 1997-ben 5000 amerikai dollárt ajánlott fel, ezt tíz év alatt dollárra,Notices of the American Mathematical Society, Vol. 44, No. 11, p. 1436 http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf mostanra 1 millió dollárra emelte.The Beal Prize, AMS, http://www.ams.org/profession/prizes-awards/ams-supported/beal-prize
Példák Illusztrációképp, az egyik megoldás, 33 + 63 = 35 alapjainak közös prímosztója 3, egy másik megoldás, a 76 + 77 = 983 alapjainak közös prímosztója 7. Az egyenletnek természetesen végtelen sok megoldása létezik, ezek egy része például felírható a következő alakban
bármilyen a, b > 0, m > 2 egészekre. Ezek közül egyik megoldás se jó ellenpéldának a Beal-sejtésre, mivel az alapok mind tartalmazzák osztóként az -t.
Kapcsolat más sejtésekkel A nagy Fermat-tétel kimondja, hogy az x = y = z > 2 esetben a Beal-sejtésben szereplő egyenletnek nincs megoldása (vagy ami ebből következik, nincs olyan megoldása, ahol A, B és C relatív prímek). Ez Beal sejtésének speciális esete (a Beal-sejtés is megköveteli, hogy A, B és C relatív prímek legyenek és x, y, z > 2 legyen, de utóbbiaknak nem kell feltétlenül megegyezniük).
A Beal-sejtés úgy is kimondható, hogy „a Fermat–Catalan-sejtés valamennyi megoldásában szerepel 2 a kitevők között”.
Részleges eredmények Azokban a lenti esetekben, ahol 2 a kitevő, a 2 többszöröseire is érvényes a bizonyítás, mivel a hatványból egyszerűen négyzetgyök vonható..
Az x = 2, y = 3 és z = 7 esetet Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer és Michael Stoll bizonyította 2005-ben. Az x = 2, y = 4, z pedig prímszám esetet Michael Bennet, Jordan Ellenberg és Nathan Ng igazolta 2009-ben. Az x = 2, y = 3 és z = 10 esetet David Brown bizonyította 2009-ben. Az x = y = z eset megegyezik az Andrew Wiles által 1994-ben bebizonyított nagy Fermat-sejtéssel. Az A = 1 eset következik a Catalan-sejtésből, amit 2002-ben igazolt Preda Mihăilescu (Mihăilescu-tétel). Ha igaz az abc-sejtés, akkor igaz az is, hogy legfeljebb véges sok ellenpélda hozható a Beal-sejtéssel szemben. Hash táblákkal felgyorsított számítógépi kereséssel igazolták a Beal-sejtés érvényességét a képletben szereplő mind a hat változó 1000-ig terjedő értékeire.Beal's Conjecture: A Search for Counterexamples Tehát bármilyen ellenpéldában a változók közül legalább egynek 1000 fölöttinek kell lennie.
Érvénytelen variánsok
A és ellenpéldák megmutatják, hogy a sejtés érvénytelen lenne, ha megengednénk, hogy legalább egy kitevő felvegye a 2 értéket. A Fermat–Catalan-sejtés foglalkozik ezekkel az esetekkel.
A sejtés egy variánsa, mely szerint az x, y, z-nek (és nem az A, B, C számoknak) kell közös prímtényezővel rendelkeznie, hamisnak bizonyult. Egy ellenpélda:
A sejtés szintén érvénytelen, ha az egész számkört kibővítő Gauss-egészek körében vizsgáljuk. Miután 50 dollárt ígértek annak, aki ellenpéldát talál, Fred W. Helenius megtalálta a esetet.Neglected Gaussians
Fordítás
Jegyzetek
További információk Index: Akar egymillió dollárt keresni? http://www.ams.org/profession/prizes-awards/ams-supported/beal-prize The Beal Prize office page http://www.bealconjecture.com/ http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html
Beal conjecture at PlanetMath http://mathoverflow.net/questions/28764/status-of-beal-tijdeman-zagier-conjecture
Kategória:Számelmélet Kategória:Sejtések