Speciális lineáris csoportnak nevezzük és -val (néha -val) jelöljük a test feletti -es, 1 determinánsú mátrixok multiplikatív csoportját. Értelemszerűen elemei felfoghatóak a fölötti n dimenziós vektortér transzformációiként, és részcsoportja a általános lineáris csoportnak. Amennyiben véges test, helyett gyakran -t írunk, ahol jelöli a test elemszámát (ilyenkor persze prímhatvány).
Példák a sík terület- és irányítástartó lineáris transzformációinak a csoportja. a háromelemű test fölötti, 1 determinánsú -es mátrixok csoportja.
Az alábbi ábra az csoport szorzótáblája. A zöld, piros és üres körök a háromelemű test elemeit reprezentálják: az üres kör jelöli nullelemet, a zöld az egységelemet, a piros pedig a 2=-1 elemet. A kis kétszer kettes kockák a háromelemű test feletti 1 detetminánsú -es mátrixok, magának a csoportnak az elemei. Látható, hogy az rendje 24. A háttérszínek jelzik az egyes elemek rendjét: sötétszürke: 1 világosszürke: 2 sárga: 3 kék: 4 fehér: 6
Fájl:SL(2,3); Cayley table.svg
Néhány konkrét véges speciális lineáris csoport Alaptest rendje Mátrixok rendje Csoport szokásos elnevezése Csoport rendje 1 triviális csoport 2 2 , harmadfokú szimmetrikus csoport 3 2 speciális lineáris csoport 4 2 alternáló csoport 5 2 speciális lineáris csoport 2 3 általános lineáris csoport
A véges speciális lineáris csoportok rendje elemszámának meghatározásához azt kell meggondolni, hogy az a leképezés, amely elemeihez a determinánsukat rendeli, homomorfizmus az általános lineáris csoportból a q elemű test nemnulla elemeinek szorzáscsoportjába, amely q-1 elemű. Ennek a homomorfizmusnak éppen a magja. Épp ezért
Az általános lineáris csoport elemszáma viszont ismert:
és így
.
Források
Kategória:Csoportelmélet Kategória:Lineáris algebra