bélyegkép|A kétdimenziós hőegyenlet megoldásának szemléltetése. A hőmérséklet van a harmadik dimenzió függvényében ábrázolva A matematikában a parciális differenciálegyenlet (röviden PDE) ismeretlen többváltozós függvényeket és ezek parciális deriváltjait tartalmazó differenciálegyenlet. A parciális differenciálegyenletek olyan problémákat fogalmaznak meg, amelyekben a keresett függvények és azok deriváltjai több független változótól függnak. Az ismeretlen függvények meghatározhatóak analitikusan, vagy kereshetjük a megoldásokat numerikus módszerek segítségével. A differenciálegyenletek másik nagy osztálya a közönséges differenciálegyenletek (KDE), amely egyváltozós függvényeket és ezek deriváltjait foglalja magába.
A parciális differenciálegyenletek és azok megoldásainak keresése az egyik leggyakrabban előforduló matematikai probléma a közgazdaságtanban, a mérnöki tudományokban, illetve az élő és élettelen természettudományokban. Alapvető jelentőséggel bírnak számos fizikai jelenség, mint a hang, hővezetés, elektrodinamika, áramlástan, rugalmasság vagy kvantummechanika matematikai leírásában.
A XVII. századra során, az Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz által kidolgozott differenciál- és integrálszámítás lehetővé tette a parciális differenciálegyenletek formális megalapozását. A résztudomány megszületése a XVIII. századra tehető, és első úttőrői Pierre-Simon Laplace, illetve Jean-Baptise Joseph Fourier voltak, akik jelentős eredményeket értek el a hővezetés, illetve a gravitációs mezők parciális differenciálegyenletekkel való leírásával.
A résztudományterület ezt követően gyorsan fejlődött, a XVIII-XX. között számos kiemelkedő matematikus járult hozzá a parciális differenciálegyenletek elméletéhez: Augustin-Louis Cauchy szintén az parciális differenciálegyenletek elméletének egyik megalapozója, ő dolgozta ki a róla elnevezett Cauchy-problémát. Jacques Hadamard munkái hozzájárultak az elliptikus és hiperbolikus egyenletek megértéséhez, valamint általánosan a PDE-k megoldhatósága és stabilitása kapcsán. Carl Gustav Jacob Jacobi a megoldásokhoz alkalmazott integrálási módszerek terén végzett úttörő munkát, és rámutatott a szimmetriák jelentős szerepére a matematikai fizikában. Berhard Riemann nevézhez köthető a differenciálegyenletek geometriájának kidolgozása. A 20. század egyik legnagyobb hatású matematikusa a területen David Hilbert volt. Andrej Nyikoljaevics Kolmogorov dolgozta ki a sztochasztikus parciális differenciálegyenletek elméletét, amely lehetővé tette a véletlenszerű többváltozós, és vagy több dimenziós dinamikai rendszerek matematikai leírását.
Bevezetés A PDE-k olyan egyenletek, amelyek valamilyen folytonos változók fejlődését írják le (térben, időben stb.). Egy merev test helyzetét megadhatjuk hat paraméterrel, de egy folyadék viselkedését jó néhány változó folytonos eloszlása adja meg, mint pl. a hőmérséklet, nyomás és így tovább. A merev test dinamikája egy véges dimenziójú konfigurációs térben játszódik le, egy folyadék dinamikája azonban meglehet, hogy akár egy végtelen dimenziójú konfigurációs térben kaphat helyet. Általában ez különbözteti meg a PDE-ket a KDE-ktől, de itt most, a közérthetőség kedvéért, lineáris problémákról fogunk nagyrészt beszélni. Általában az akusztika, folyadékdinamika, elektrodinamika, diffúzió és hőcsere területén van jelentős szerepe a differenciálegyenleteknek.
Egy PDE az függvényen a következő alakot ölti:
Ha f lineáris függvénye u-nak és a deriváltjainak, akkor a PDE-t lineárisnak hívjuk. Általános példák közé tartozik a hőegyenlet, a hullámegyenlet, a Laplace-egyenlet, a Helmholtz-egyenlet, a Klein–Gordon-egyenlet vagy a Poisson-egyenlet.
Egy viszonylag egyszerű PDE:
Ez az összefüggés maga után vonja, hogy az u(x, y) függvény nem függ x-től. Azonban, az egyenlet nem ad információt arról, hogy u hogyan függ y-tól. Tehát az általános megoldása ennek az egyenletnek
alakú, ahol f egy véletlenszerű függvénye y-nak. A hasonszőrű közönséges differenciálegyenlet
amelynek megoldása
ahol c egy konstans, amely bármely értéket felvehet. Ez a két példa mutatja, hogy egy KDE megoldása véletlenszerű konstansokat feltételez, míg egy PDE megoldása véletlenszerű függvényeket. Egy PDE megoldása általában nem sajátos, ahhoz, hogy valamilyen sajátos formát öltsön mellékinformációkra van szükség a tartomány pereméről, ahol a megoldást definiáltuk. Példának okáért, a fenti egyszerű példában, az f(y) függvény meghatározható, amennyiben u értéke pontosítva van az x=0 vonalon.
A létezés feltétele és az egyértelműség Habár a megoldás létezésének és egyértelműségének (unicitásának) problémája a KDE-nek nagyon kielégítő magyarázatra lelt a Picard–Lindelöf-tétel szerint, azonban a PDE esetében szó sincs ilyesmiről. A Cauchy–Kovalevszkaja-tétel kimondja, hogy a Cauchy-problémák egyedi megoldásokhoz vezetnek bizonyos körülmények között, a legfontosabb ezek közül azt állítja, hogy a Cauchy-információk és a PDE-k együtthatói valós analitikai függvények. Talán úgy tűnhet, hogy ez az eredmény megalapozná a megoldások létezését és unicitását, de vannak példák olyan lineáris PDE-ekre amelyek együtthatóinak deriváltjai mindenféle rendűek (amelyek így nem utolsósorban nem analitikusak) de nincs megoldásuk egyáltalán: lásd Lewy (1957). Még ha létezik is egy PDE megoldása és egyedi is, lehet, hogy sosem fog a kívánatos tulajdonságokkal rendelkezni. A matematikai tanulmányozása ezen kérdéseknek általában egy erősebb kontextusába tartozik a „gyenge megoldásoknak”.
Egy példája a patológiás viselkedésnek az a következő (n-től függő) Cauchy-problémák sora Laplace-egyenletre vonatkoztatva
a következő peremfeltételekkel
ahol n egy egész szám. Az u deriváltja y szerint egyenletesen közelíti meg 0-t x-ben n növekedésével, de a megoldás
Ez a megoldás végtelenhez közelít ha nx nem egy egész többszöröse π-nek, bármely nem zéró y-ra. A Cauchy-probléma a Laplace-egyenletre vonatkoztatva rosszul feltett problémának minősül, hiszen a megoldása nem folytonosan függ a feladat adataitól. Ilyen rosszul feltett problémák nem sok esetben hasznosak fizikai szempontból.
Jelölések A PDE-kben a parciális deriválást általában indexes formájában szemléltetjük.
Különös tekintettel a fizikában, del vagy más néven nabla (∇) gyakran használt mennyiség térbeli deriváltak jelölésére, és az időbeli egyszeres, illetve kétszeres deriváltakra. Példának okáért a hullámegyenlet (lentebbi formalizmus) felírható, mint
illetve
ahol Δ a Laplace-operátor.
Besorolásuk Néhány lineáris, másodrendű parciális differenciálegyenlet parabolikus, hiperbolikus vagy elliptikus kategóriákba sorolható. Mások, mint az Euler–Tricomi-egyenlőség különböző részekből áll össze. A besorolás arra szolgál, hogy útmutatást adjon a kezdeti- és peremfeltételek megközelítésével és a megoldás simaságával kapcsolatban.
Elsőrendű egyenletek A matematikában, egy elsőrendű PDE (ERPDE) egy olyan PDE, amely kizárólag az első rendű deriváltjait vonja be az n számú változóknak. Az egyenlet a következő alakot ölti:
Ilyen típusú egyenletek jelennek meg a karakterisztikus felületek építésében a hiperbolikus PDE-k, a variációszámítás, néhány geometriai probléma, és szimpla gázdinamikai modellek esetében, amelyek megoldásai a karakterisztikák metódusát hívja segítségül. Ha egy ERPDE megoldáscsaládja meghatározható, akkor egyéb mellékes megoldások kaphatóak meg a különböző egyedi esetekre kiterjesztve ezt. Egy kapcsolt műveletben, általános megoldások fedezhetőek fel KDE családok integrálása révén.
Karakterisztikus felületei a hullámfüggvénynek A karakterisztikus felületeti a hullámfüggvénynek nem mások, mint szintfelületei a következő egyenlet megoldásainak:
A nagylelkűség kárára megy ha kikötést tesszük, de ebben az esetben u teljesíti
Vektorok alakjában,
Egy megoldáscsalád síkokkal, mint szintfelületek így adható meg
ahol
Ha x és x0 fixek, a külső rétegei ezeknek a megoldásoknak egy 1/c sugarú gömbön valamely pontban keresendő
ahol az u stacionárius. Ez akkor igaz, ha párhuzamos különbséggel. Mivel a külső réteg egyenlete
Ezek a megoldások olyan gömböknek felelnek meg, amelyek sugara c sebességgel csökken vagy nő. Ezek a fénykúpok a tér-idő vásznán.
A kezdetiérték feladat az egyenlőség alapján egy S szintfelületben nyilvánul meg ahol u = 0, t = 0. A megoldást megkapjuk, ha az összes S-en koncentrikus gömbhéjat számításba vesszük, amelyek sugara c sebességgel nő. Ez a külréteg szükségessé teszi a következőket
Ez a feltétel akkor elégül ki, ha normális S-re. Ezért a külréteg nem másnak felel meg, mint mozgásnak c sebességgel a normálok mentén. Ezt másképpen a Huygens-féle hullámfront konstrukciónak nevezik: minden pont S-en kibocsát egy gömbhullámot t = 0 időpillanatban, és a hullámfront egy későbbi t időpillanatban tulajdonképpen egy ilyen külrétege ezeknek a gömbhullámoknak. Az S normáljai a fénysugarak.
Lineáris másodrendű egyenletek Elfogadva, hogy uxy = uyx, az általános másodrendű PDE két változóra a következő formát ölti:
ahol az A, B, C stb. függhetnek x-től és y-tól. Ha egy részén az xy síknak, akkor a PDE másodrendű ebben az intervallumban. Ez a formalizmus hasonló egy kúpszelet egyenletéhez:
Pontosabban, ∂x helyettesítve X-el, és így tovább a többi változót is (formálisan ezt egy Fourier-transzformációval végezzük el), egy konstans együtthatójú PDE-t egy ugyanolyan rendű polinommá alakít, ahol a legmagasabb rendű tag lesz a legfontosabb a besorolás szempontjából (egy homogén polinom, itt kvadratikus alakban).
Ahogyan kúpszeleteket és kvadratúrákat parabolikus, hiperbolikus vagy elliptikus besorolásokat kaphatnak a diszkrimináns viselkedése alapján, úgy a PDE-el is ez történik. Azonban, a diszkrimináns a PDE-ben -ként van megadva, attól az egyszerű konvenciótól fogva, hogy az xy tag általában 2B és nem B; formálisan, a diszkrimináns (a megfelelő kvadratúrának) a alakban írható, egy 4-es faktorral csökkentve az egyszerűség kedvéért.
1. : (elliptikus parciális differenciálegyenlet) → Az elliptikus PDE megoldásai olyannyira simák, mint amennyire az együtthatók engedik, az értelmezett tartományon belül ahol az egyenletünk van és a megoldásunk kerestetik. Pl. a Laplace-egyenlet analitikusnak mondható a saját értelmezési tartományán, de a megoldások felvehetnek olyan peremértékeket, ahol már elvesztődik a simaság. Egy fluidum szubszónikus sebességen megközelíthető elliptikus PDE-el, és az Euler-Tricomi egyenlőség elliptikus lesz ha x < 0.
2. : (parabolikus parciális differenciálegyenletek) → A parabolikus egyenletek minden pontban átalakíthatóak a hőegyenlethez hasonló alakba, egy független változó cserével. A megoldások kisimulnak, ahogyan a transzformált időbeli változó értéke nő. Az Euler-Tricomi egyenlőség parabolikus jelleget vesz fel az x = 0 egyenesen.
3. : (hiperbolikus parciális differenciálegyenletek) → A hiperbolikus egyenletek minden függvényi diszkontinuitást vagy rendellenességet a kezdeti adatokban tárolják. Egy példa erre a hullámfüggvény. A fluidum mozgása szuperszonikus sebességeken megközelíthető hiperbolikus PDE-el, és az Euler-Tricomi egyenlőség akkor lesz hiperbolikus, ha x > 0.
Ha tehát n független változóm (x1, x2, x3,…, xn) van, egy általános lineáris másodrendű PDE a következő formát veszi fel:
A besorolás az ai,j mátrix együtthatóiból előálló sajátértékek természetétől függ:
Elliptikus: A sajátértékek mind pozitívak vagy mind negatívak. Parabolikus: A sajátértékek mind pozitívak vagy mind negatívak, egyet kivéve, amely 0. Hiperbolikus: Csak egy negatív sajátérték van és a többi pozitív, vagy csak egy pozitív és a többi negatív. Ultrahiperbolikus: Több, mint egy negatív sajátérték van és több, mint egy pozitív sajátérték van, illetve nincsenek zérus sajátértékek. Csak egy korlátolt elmélet létezik az ultra-hiperbolikus egyenletekre (Courant és Hilbert, 1962).
Elsőrendű egyenletrendszerek és karakterisztikus felületek