A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése (ejtsd: a a b-ediken), ahol a-t alapnak, b-t kitevőnek nevezzük.
Pozitív egész b kitevő esetén a hatványozás b darab egymást követő azonos szám összeszorzását jelenti. Például:
A hatványozás a permanenciaelvet alkalmazva egyéb kitevőkre is értelmezhető. Ez azt jelenti, hogy az egyéb kitevős hatványokat úgy definiáljuk, hogy tulajdonságaikban a lehető leginkább hasonlítsanak a pozitív egész kitevős hatványra.
Ha lemondunk a hatványozás egyértelműségéről, akkor bármely nemnulla komplex szám alapra és tetszőleges komplex kitevőre is általánosítható a hatványfogalom.
A hatványozás műveletén alapszik a helyiértékes számábrázolás, azaz a számrendszerek használata. A leggyakoribb, tízes számrendszerben például a 10 hatványait használjuk, ezek például a 10, 100, 1000.
Definíció a valós számok halmazán Az 1 és a 0 hatványozása (-t leszámítva) mindig 1-et, illetve 0-t ad eredményül, tehát: , illetve , ha a ≠ 0.
Pozitív egész kitevőre Ha a tetszőleges valós szám, b pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor hatvány azt a b tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a:
Mivel egytényezős szorzat nem létezik, a b=1 esetet külön kell definiálni:
Egyéb elnevezések Egy szám második hatványát másképpen a négyzetének, harmadik hatványát a köbének is hívjuk.
Nulla kitevőre Ha az a valós szám nem nulla, akkor (üres szorzat)
A kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.
Negatív egész kitevőre Ha a tetszőleges nem nulla valós szám, -b pedig negatív egész, akkor
Mivel b pozitív egész, ez a kifejezés a korábbi definíció alapján értelmezhető.
A nulla negatív hatványai nem értelmezhetők, mert nullának nincs reciproka.
Racionális törtkitevőre Legyen a nemnegatív valós szám, b pedig racionális törtszám. Ekkor a racionális szám definíciója alapján b felírható p/q alakban, ahol p egész, q pedig 1-től különböző pozitív egész. Az hatvány ennek segítségével a következőképpen értelmezhető:
Negatív alap esetében a matematika nem egységes. Bizonyos esetekben például a következőképp értelmezik:
Ekkor azonban fontos, hogy a kitevőt egyszerűsített alakjában írjuk fel, például ha a belső hatványkitevőt és a gyökkitevőt is beszorozzuk kettővel, akkor elveszítjük a 8-as előjel-információját:
Legtöbbször azonban a negatív számok hatványait a valós számok körében csak egész kitevő esetén értelmezik, törtkitevő esetén pedig a komplex számok többértékű hatványfogalmát használják (lásd lejjebb).
Irracionális kitevőre Ha a nemnegatív valós szám, b pedig irracionális szám, akkor:
Ahol lim a határértéket jelöli, x pedig csak racionális értéket vesz fel. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az irracionális kitevőjű hatvány értéke „nagyon közel” van a körülötte lévő racionális kitevőjű hatványok értékéhez. Ebben a definícióban azt használtuk ki, hogy a racionális számok „sűrűn” helyezkednek el, azaz bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám található.
A valós kitevős hatvány az exponenciális függvény és a logaritmus segítségével is bevezethető:
Belátható, hogy a hatványozás azonosságai ezzel is érvényben maradnak, és hogy ugyanazt kapjuk, mint a határértékes módszerrel.
Az exponenciális függvény
Az Euler-féle szám a következő bizonyíthatóan konvergens sorozat határértékével definiált valós szám:
Bebizonyítható, hogy x valós kitevő esetén:
Hiszen pozitív kitevőre:
Az utolsó lépésnél kihasználjuk, hogy ha n a pozitív végtelenbe tart, akkor a konstans pozitívszorosa, m=nx is a pozitív végtelenbe tart. 0 esetén külön megvizsgálva teljesül a várt 1 eredmény, negatív számokra pedig hasonló módon szintén belátható az azonosság.
Határérték-számítási és egyéb átalakítások elvégzésével az előbbi ex átírható a következő hatványsorformába:
Ezt a kifejezést x függvényeként tekintve definiáljukMind az Euler-féle számnak, mind az exponenciális függvénynek léteznek egyéb, ekvivalens definíciói az exponenciális függvényt:
Tetszőleges pozitív valós alapra és valós kitevőre az ln természetes logaritmus segítségével a következőképp írható fel a hatvány:
Definíciók a komplex számok halmazán A hatványozás kiterjeszthető a komplex számok halmazára is. Komplex alap egész kitevőre Ha az alap komplex, a kitevő pedig egész, akkor a valós definíciókkal megegyező módon:
ahol k pozitív egész, az első két esetben z tetszőleges komplex, a második két esetben z nemnulla komplex.
Pozitív valós alap komplex kitevőre A komplex kitevőjű hatvány legegyszerűbben az exponenciális függvény általánosításának segítségével definiálható, hiszen ahhoz csak a fent definiált egész kitevős hatványra, osztásra, összeadásra és határértékképzésre van szükség:
Ezután a pozitív valós szám komplex z kitevős hatványa:
Komplex nemnulla alap komplex kitevőre (többértékű hatványfogalom) Az előző képletben szerepel az a szám természetes logaritmusa (ln a). Azonban azokra a komplex számokra, melyek nem pozitív valósok (C\R+), a természetes logaritmus nem egyértelmű. Az ilyen számokra csak a komplex természetes logaritmus értelmezhető, ami a következő halmaz: (k bármilyen egész szám)
ahol |z| a komplex szám abszolút értéke, arg(z) az argumentuma, azaz a komplex számsíkon ábrázolva az origóból az adott számhoz húzott vektor és a valós tengely által bezárt szög.
A természetes logaritmus többértékűsége miatt az általános komplex nemnulla alapú hatvány is többértékű (k tetszőleges egész):
A definíciók összefoglalása
A következő táblázat bemutatja, hogy milyen számhalmazokból álló számok hatványa mit jelent. Ahová egyértelmű van írva az azt jelenti, hogy nem muszáj a többértékű komplex természetes logaritmust használni a kiszámításhoz. Ahová többértelmű van írva, ott ez elkerülhetetlen, viszont megállapodás szerint ott is kiválasztható egy elsődleges érték a végtelen sok közül.
Nem minden számpár illik kizárólag egy sorba. Ezekre a számpárokra mindkét definíció alkalmazható.
a ∈ b ∈ ab kiszámítása A definíció egyértelműsége
egyértelmű
pozitív egész kitevőnél ismételt szorzással, negatív egésznél ismételt osztással, 0 kitevőnél mindig 1 egyértelmű
többértelmű (k tetszőleges egész)
egyértelmű
– nem értelmezett
Példák A fenti táblázatnak megfelelő sorrendben:
Pozitív valós alap komplex kitevőre:
Nemnulla komplex alap egész kitevőre:
Nemnulla komplex alap tetszőleges komplex kitevőre:
Nulla alap pozitív valós kitevőre:
Nulla alap olyan komplex kitevőre, ami nem pozitív valós:
Nulla a nulladikon A nulla nulladik hatványát általában nem definiálják: Az algebrai kifejezéseket tartalmazó határértékektől elvárják, hogy egy részkifejezés helyére egy hozzá tartó sorozatot helyettesítve a határérték ne változzon meg. De ha f(t) és g(t) is nullához tart, akkor f(t)g(t) határértéke különböző lehet: . Ezért a nulla nulladik hatványa nem értelmezhető. A komplex számsíkon a zz függvényt az ez ln z kifejezés definiálja, de a nulla nem logaritmálható. Nincs reguláris függvény, ami értelmezve van a nulla egy környezetében, ami megegyezik zz-vel minden pozitív egészre."... Let's start at x = 0. Here xx is undefined." Mark D. Meyerson, The xx Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198-206.
Néha azonban mégis célszerű egynek definiálni a nulla nulladik hatványát: Nullák üres szorzataként az érték 1 A kombinatorikai definíció szerint a nulla a nulladikon az üres halmaz elemeiből képzett nulla hosszú sorozatok száma: ez szintén 1. A halmazelmélet szerint az üres halmazból az üres halmazba menő függvények száma 1.N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III. § 3.5. Nagymértékben leegyszerűsíti a polinomok és a hatványsorok elméletét, ha a konstans tagot ax0 alakban írhatjuk fel: A polinomok szorzatának együtthatóinak kiszámítására vonatkozó formula sokat veszít egyszerűségéből, ha a konstans tagokat külön kell kezelni. Az olyan azonosságok, mint és nem teljesülnek nullára, kivéve, ha 00 = 1. A binomiális tétel: nem teljesül x = 0-ra, hacsak nem 00 = 1. A differenciálszámításban az szabály nem értelmes n = 1-re, kivéve, ha 00 = 1.
A hatványozás azonosságai A szorzat alakú definícióval belátható azonosságok pozitív egész kitevő esetén:
Azonos kitevőjű hatványok szorzata: az alapok szorzata a közös kitevőre emelve.
Azonos alapú hatványok szorzata: a közös alap a kitevők összegére emelve.
Azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető. Az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője nagyobb.
Tört hatványa egyenlő a számláló és a nevező hatványának hányadosával.
a szorzás asszociativitása miatt.
A komplex számok hatványozása nem egyértelmű. Ekkor az azonosságok mindkét oldalának több lehetséges értéke is lehet. A két oldal egyenlősége az ezek által alkotott két halmaz egyenlőségeként értendő. Határértékek A nulla nulladik hatványáról szóló szakaszban látható, hogy a két változós xy függvénynek nincs határértéke (0,0)-ban.
Tekintsük az f(x,y) = xy függvényt az x > 0 tartományon. Jelöljük ezt a tartományt D-vel. Tekintsük D-t részhalmazának, és keressük itt az f függvény határértékeit!
f-nek D minden torlódási pontjában van határértéke, kivéve a (0,0), (+∞,0), (1,+∞) és az (1,−∞) pontokban. Eszerint az xy függvény folytonosnak tekinthető, ha 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, a 00, (+∞)0, 1+∞ és 1−∞, amiket továbbra sem értelmezünk.N. Bourbaki, Topologie générale, V.4.2.
Ezzel a folytonossági tulajdonsággal
a+∞ = +∞ és a-∞ = 0, ha 1 < a ≤ +∞. a+∞ = 0 és a-∞ = +∞, ha 0 ≤ a < 1. 0b = 0 és (+∞)b = +∞, ha 0 < b ≤ +∞. 0b = +∞ és (+∞)b = 0, ha -∞ ≤ b < 0.
Jó, ha észben tartjuk, hogy ezek a határértékek csak pozitív alapokra érvényesek. A folytonossági módszer nem alkalmazható, ha x < 0. Valójában a negatív számok tört kitevős hatványai nem értelmezhetők úgy, mint a pozitívoké. Még az egész kitevős hatványoknak sincs határértéke a végtelenben a váltakozó előjel miatt.
Felhasználásai A hatványozást felhasználjuk a helyértékes számábrázolás, illetve a tizedestörtek alkalmazásakor. A tíz hatványai fontos szerephez jutnak a számok normálalakjának felírásában. A normálalak a számot egy egy és tíz közötti szám és tíz egy hatványának szorzataként fejezi ki. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden pozitív egész szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen írható fel prímhatványok szorzataként. A komplex szinusz és koszinusz kifejezhető az exponenciális függvény segítségével (Euler-formula). Így a komplex kitevős hatványokkal a trigonometria számos kérdése algebrai eszközökkel kezelhető. A képzetes egység hatványai i, -1, -i, 1, ... Ezért i hatványai felhasználhatók a négy periódusú sorozatok felírásában. Függvényiteráció hatványjelölése Sokszor a felső index függvények esetén nem hatványozást, hanem iterációt jelöl; tehát f3=f(f(f(x))). Ezt a jelölést sokszor figyelmeztetés nélkül használják. Az iterált függvényrendszerek a dinamikai rendszerek és a fraktálok tanulmányozásában használatosak. Ez az iteráció a hatványozáshoz hasonlóan kiterjeszthető tört értékekre is. Az f1/2(x) számításával Babbage foglalkozott először.
A trigonometrikus függvények esetén azonban történeti okok miatt a pozitív felső index hatványozást, a negatív felső index viszont sokszor az inverz függvény hatványait jelöli, annak ellenére, hogy ezeknek is van rövidített nevük. Hasonló teljesül a logaritmusokra is. Az absztrakt algebrában Az egész kitevős hatványok az absztrakt algebrai struktúrákban is definiálhatók (félcsoportban, csoportban).
Ezekben a struktúrákban az x elem pozitív egész kitevős hatványa az egész kitevős hatványok mintájára definiálható. Az n tényezős szorzatot hatványként jelölve teljesülnek a következő tulajdonságok:
Ha a műveletnek van kétoldali egységeleme, akkor x0 = 1 minden x elemre. Így
Ha az x elem invertálható, akkor a hatványozás kiterjeszthető a negatív kitevőkre is:
az inverz kétoldalisága asszociativitás
Ha a szorzás kommutatív, akkor még a következő is teljesül: