A szabályos testek vagy platóni testek a geometria területén olyan konvex testeket jelentenek, melyek oldalait egybevágó szabályos sokszögek határolják, minden lapszögük egyenlő és a csúcsalakzataik is egybevágók. A 3 dimenziós térben öt szabályos test létezik. Két dimenzióban végtelen sok szabályos sokszög létezik.
Euler poliédertétele alapján minden konvex poliéderre teljesül az alábbi összefüggés: c + l = é + 2, ahol a c a csúcsok száma, az l a lapok száma, az é pedig az élek száma.
Léteznek úgy nevezett félig szabályos testek is, ezek az arkhimédészi testek, melyeknek szabályosságaira nem vonatkoznak ennyire szigorú szabályok. (Ezek oldalait többféle szabályos sokszög alkotja.)
Az öt szabályos test NévTetraéderHexaéder(Kocka)OktaéderDodekaéderIkozaéderKép120px120px120px120px120pxHáló 60px 64px 100px 112px none|96pxOldallapok száma (l)4681220Oldallapok fajtájaszabályos háromszögnégyzetszabályos háromszögszabályos ötszögszabályos háromszögDuálisatetraéderoktaéderhexaéderikozaéderdodekaéderÉlek száma (é) 6 12 12 30 30Csúcsok száma (c) 4 8 6 20 12Egy csúcsból induló élek száma33435Testátlók száma04310036LapszögFelület az él (a) függvényébenTérfogat az él (a) függvényébenKörülírt gömb sugara az él (a) függvényébenBeírt gömb sugara az él (a) függvényébenA középsugár az él (a) függvényében
A szabályos testek tétele A szabályos testek tétele szerint pontosan öt szabályos háromdimenziós test létezik. Ez első pillantásra meglepőnek tűnik, mivel szabályos sokszögből végtelen sok van. A tétel maga a szabályosság rendkívül szigorú definícióját kihasználva bizonyítható.
A tétel megfogalmazása A geometriában szabályos testnek nevezzük azt a poliédert, aminek minden oldala egybevágó, így az élei egyenlőek és a lapszögei is egyenlőek. Ebből következően állítható, hogy pontosan öt ilyen test létezik.
A tétel bizonyítása A tétel bizonyítása két részből áll. Egyrészt megmutatjuk, hogy legfeljebb öt ilyen test lehet, majd pedig mind az ötnek a létezését támasztjuk alá.
A darabszám igazolása A tételt az Euler-féle poliédertétel segítségével bizonyíthatjuk. Ennek állítása, hogy egy poliéder c darab csúcsára, e darab élére és l darab lapjára érvényes, hogy
Ha a poliéder oldalai s oldalú sokszögek, illetve egy csúcsban m él fut össze, akkor az élek száma
Ezeket a kifejezéseket átrendezve kapjuk, hogy
Most rendezzük át Euler tételét!
Ha ezt elosztjuk 2e-vel, akkor egy egészen szimpatikus formát kapunk:
ugyanis ebbe a fenti kifejezéseket behelyettesíthetjük. Az eredmény:
Akár már ezt az egyenletet is megoldhatnánk, azonban ez kifejezetten nehézkes feladat, így érdemes észrevenni, hogy mivel e csak pozitív egész lehet, a jobboldal kifejezetten nagyobb félnél. Az egyenletet így már felhasználhatjuk céljainkra:
Ezt az egyenlőtlenséget viszonylag egyszerű megoldani, hiszen s>2 miatt a 4-nél kisebb számokat kell felbontani két pozitív egész szorzatára. Szerencsére ezeket túl sok módon nem lehet, hiszen az 1-ről és két prímről van szó. Mindegyik egy-egy szorzat, az 1-é egyféle, mint az közismert, a prímeké a két különböző eredetű tényező miatt kétféle lehet, ez összesen öt.
Vegyük észre, hogy most azt bizonyítottuk mindössze, hogy ötféle test létezhet, de ebből még nem következik bármelyiknek a létezése is.
A létezés igazolása Elsőként nézzük meg, mit tudunk mondani a testekről eddig. A lehetséges megoldások:
A szorzat s m c e l 1 3 3 4 6 4 2 3 4 6 12 8 2 4 3 8 12 6 3 3 5 12 30 20 3 5 3 20 30 12
Azt nem nehéz belátni, hogy az oldallapoknak szabályos sokszögeknek kell lennie. A feladat így jelentősen egyszerűsödik. Az egyes eseteket külön-külön vizsgáljuk, a lapok oldalszáma és a csúcsok fokszáma szerint.
A (3,3) eset A kocka a (3,4) eset alapján létezik. Valamelyik csúcsából vegyük fel a lapátlókat. Ezek egyenlő hosszúak, a kocka tulajdonságaiból következően. Az átlók végeit szintén lapátlókkal összeköthetjük, amik szintén egyenlő hosszúságúak. Ezzel a szabályos test egyik feltétele teljesült.
A lapátlók alkotta élek egyenlő oldalú háromszögeket alkotnak, így az egy csúcsba futó élek is páronként egyenlő szögeket zárnak be. A háromszögek magasságai és egy-egy középvonal is egybevágó háromszögeket alkotnak, így a lapszögek is megegyeznek. A tetraéder tehát kielégíti a szabályos testek feltételeit.
A (3,4) eset Ez a hexaéder, más néven a kocka. Ennek létezése triviálisan igazolható, mivel három, egymásra páronként merőleges egyenes segítségével lehet kijelölni.
Maga a kocka a hasábokból is triviálisan levezethető, a lapszögek és az élhosszakra kirótt feltételek segítségével.
A (4,3) eset Ezt a testet oktaédernek nevezzük, mivel nyolc lapja van. A tetraéderhez hasonlóan a kockából vezethető le.
A kocka minden lapjának kijelölhető a középpontja, ez nyolc pontot jelent. A szomszédos lapokon lévő pontok távolsága egyenlő, ennek puszta szimmetricitási okai vannak. Hasonló okokból az élszögek is egyenlők. Mivel pedig az élek háromszögeket zárnak közre, méghozzá egyenlő oldalú háromszögeket, ezért a lapok egybevágósága is teljesül. Végül a lapszögek egyenlősége is belátható, elég a kocka szimmetriáit figyelembe venni hozzá. Ezzel az oktaéder létezése igazoltatott.
A (3,5) eset Az ikozaéder létezésének belátása a többi testénél némileg bonyodalmasabb. Ennek oka, hogy, akárcsak a többi testnél, itt is konstruktívan bizonyítunk, azonban nem áll rendelkezésre semmilyen segédtest, amiből ki tudnánk indulni.
Első lépésként vegyünk fel egy BCDEF szabályos ötszöget. Ennek M középpontjában emeljünk az ötszög síkjára merőlegest. A merőleges és a C csúcs által meghatározott síkban szerkesszünk ötszöget, aminek egyik befogója a CM szakasz, a másik pedig az ötszög egy oldalával egyenlő hosszúságú.Ez biztosan lehetséges, mert a CM sugarú körbe írt ötszög oldala nagyobb, mint a beírt hatszögé, ez a kerületi és középponti szögek tételéből következik. A háromszög harmadik csúcsát jelöljük A-val. Így kaptuk az ABCDEF ötszög alapú szabályos gúlát.
A gúla AB élének vegyük fel az O1 felezőpontját, és az ezen átmenő, AB-re merőleges γ1 síkot. E sík tartalmazza az O1C és O1F magasságokat is. Ha tükrözzük a γ1 síkra a gúlát, akkor az ABC és ABF háromszögek tehát önmagukba mennek át. A D pont tükörképe G, így az ACD háromszög képe BCG lesz, az E ponté K, tehát az AFE háromszög képe BFK, végül ADE képe pedig BGK. A tükrözés szimmetriatulajdonságai miatt a B csúcsú, ACGKF vezérsokszögű poliéder a gúlával egybevágó lesz.
Ezt a gúla többi élére (γ2 az AC él felezősíkja, stb.) is elvégezve öt olyan gúlapalástot kapunk, amik az ABCDEF gúlával egybevágóak, ezt és egymást részben átfedik, így megkapjuk a GHIJK szabályos ötszöget, illetve a megfelelő éleket. Így az eredeti öthöz tíz további lapot kaptunk.
Mivel G D-nek γ1 szerinti, F-nek pedig γ2 szerinti tükörképek, hasonlóan K a H és E csúcsoké, a lapszögekre kapjuk, hogy (GBK,GBC)∢=(DAE,DAC)∢=(ADC,ADE)∢ és (GCB,GCH)∢=(FAB,FAE)∢=(AFB,AFE)∢. Eszerint a G-ben csatlakozó három lap is kiegészíthető egy ötszögalapú gúla palástjává, aminek hiányzó csúcsa L. Belátható, hogy ez egyben a H..K csúcsok mindegyikében találkozó lapokat is ugyanilyen gúlapalástokká egészíti ki, az L-ben találkozó lapok pedig szimmetria-okokból egybevágóak egymással, és így a korábbi gúlapalástok bármelyik lapjával is.
Az ABCDEFGHIJKL test tehát egybevágó, szabályos sokszöglapokból álló test, így szabályos, azaz ikozaéder.
Az (5,3) eset Az ikozaéder minden lapja szabályos háromszög. Ezen háromszögek köréírható köreinek középpontjait összekötő egyenesszakaszok az ikozaéder szimmetriái miatt egyenlőek. Az így kapott poliédernek, ami a dodekaéder így húsz csúcsa és 12 szabályos, egybevágó ötszöglapja van, amint azt az (5,3) eset megköveteli. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Általánosítás A tétel nem csak három dimenzióra vonatkoztatható. Kétdimenziós esetben a szabályos testek a szabályos sokszögek, ezekből végtelen sok van. Egy és nulla dimenzió esetén a szabályosság értelmét veszti, itt nem foglalkozunk a tétellel. Négy dimenzióban hatféle szabályos test van, négynél több dimenzió esetén pedig mindössze három.
A szabályos vagy platóni testek története 250px|bélyegkép|Kepler szabályos testekkel alkotott Naprendszer-modellje Mysterium Cosmographicum c. művében (1596)
A szabályos vagy platóni testek egy része már ősidők óta ismert. Már a neolitikus ember is készített hasonló formákat, melyekről Skócia régészeti leletei tanúskodnak (Atiyah and Sutcliffe, 2003).
Az ókori görögök a matematikájukhoz kapcsolódva tanulmányozták őket, és Proklosz az írásaiban Püthagorasznak tulajdonítja a felfedezésüket. Más írások is igazolják, hogy Püthagorasz már ismerte a tetraédert, a kockát, a dodekaédert, - az oktaéder és az ikozaéder felfedezését viszont Theaitétosznak, Platón kortársának tulajdonítják.Hermann Weyl: Szimmetria, Gondolat Kiadó, Budapest, 1982, 93. oldal Annyi bizonyos, hogy Theaitétosz a matematikai leírását megadta mind az öt testnek, sőt ő adta az első bizonyítását is annak, hogy ez az öt test a szabályos konvex testek teljes készlete (három dimenzióban).
A platóni testek fontos szerepet játszottak Platón filozófiájában. Ezekről Platón a Timaiosz című munkájában ír, Kr. e. 360 táján. Az öt szabályos test közül négynek az őselemeket feleltette meg: a földet a kockának, a levegőt az oktaédernek, a vizet az ikozaédernek és a tüzet a tetraédernek. Az ötödikről, a dodekaéderről Platón homályosan nyilatkozik. Arisztotelész később ezt az ötödik elemet az éterrel azonosította, azzal az anyaggal, ami szerinte az égi szférákat alkotja. Euklidész is megadta az öt szabályos test matematikai leírását az Elemekben. Az utolsó könyvben (XIII.) leírja tulajdonságaikat, szerkesztésüket, sőt megadja a körülírt gömb átmérőjének és a benne lévő test élhosszúságának arányát is.
A 16. században Johannes Kepler német csillagász feltételezett egy összefüggést az akkor ismert öt (a Földön kívüli) bolygó és az öt platóni test között. Ezeket az összefüggéseket Kepler a Mysterium Cosmographicum, című könyvében közölte, amely 1596-ban jelent meg. Ebben a Naprendszer egy modelljét konstruálta meg szabályos testekbe és azok köré írható gömbök segítségével. Legbelül foglalt helyet az oktaéder, ezt követte az ikozaéder, majd a dodekaéder, a tetraéder és végül a kocka. Ezzel magyarázható volt az is, hogy a bolygók száma miért pont hat. Ez a modell egy közbülső láncszem volt Kepler kutatásaiban, és ezt a modellt el is vetette, amikor később fölismerte a bolygómozgás törvényeit.
Dualitás a szabályos testek között bélyegkép|150px|Kocka és oktaéder duálisa
Minden poliédernek létezik egy duálisa, amikor a lapok és a csúcsok kölcsönösen fölcserélődnek. Minden szabályos platóni test duálisa egy másik platóni test, így ezek a testek duális párokba rendezhetők. A tetraéder önmagával alkot duális párt (duálisa egy másmilyen állású tetraéder). A kocka duálisa az oktaéder. A dodekaéder duálisa az ikozaéder.
A szabályos testek megismerése irodalmi alkotásból A szabályos testekről szól egy irodalmi alkotás, Lakatos Imre Bizonyítások és cáfolatok c. „iskoladrámája” is. Azért nevezhetjük így, mert színdarabként is előadható formában írta meg a szerző, hogyan vitatkozik a szabályos testekről egy gimnáziumi osztály közössége. A viták során egyre mélyebben ismerhetjük meg a szabályos testek tulajdonságait, és az eseményekkel párhuzamosan, a lábjegyzetekben képet kapunk a matematikatörténeti gondolkodás egy szakaszának a fejlődéséről is. A kiindulási probléma az Euler-féle poliédertétel bizonyítása, és a bizonyítások és cáfolatok olvasása során képet alkothatunk magunkban az alkotó matematikai gondolkodás egyféle stílusáról is. Láthatjuk azt is, hogyan formálódik a hétköznapi életben az a fogalomalkotó szemlélet, melynek alapjait iskolai matematikaórákon tanulhatjuk meg lelkes tanítóktól.
Megjegyzések
Hivatkozások
Források Coxeter H. S. M. (1987): Geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest Fejes Tóth L. (1964): Regular figures. Pergamon Press, 1964, xi+339 pp