A matematikában a Pascal-szimplex a Pascal-háromszög és a Pascal-gúla multinomiális tételen alapuló általánosítása tetszőleges dimenzióra.
Általános Pascal-m-szimplex Legyen m (m > 0) egy polinom tagjainak száma, és emeljük n-edik (n ≥ 0) hatványra.
Jelölje a Pascal-m-szimplexet. Minden Pascal-szimplex egy félig végtelen objektum, ami komponenseinek végtelen sorozatát tartalmazza.
Jelölje ennek az n. komponensét. Ez egy véges (m − 1)-szimplex, aminek élhossza n. Ekvivalens jelöléssel . Az n. komponens az m tagból álló polinom n-edik hatványának együtthatóiból áll:
ahol .
Példa:
A Pascal-4-szimplex szelete k4 mentén. Az azonos színű pontok ugyanahhoz az altérhez tartoznak a pirostól (n = 0) a kékig (n = 3).
x220px|A Pascal-4-szimplex első négy altere
Speciális Pascal-szimplexek Pascal-1-szimplex A Pascal-1-szimplexnek nincsen más ismert neve.
frameless|A Pascal-egyenes első négy eleme
n. elem egy pont, ami egy egy tagból álló, n-edik hatványra emelt polinom együtthatóit tartalmazza:
Az elrendezése
ami mindenn-re egyenlő eggyel. Pascal-2-szimplex ismert, mint: Pascal-háromszög .
frameless|A Pascal-háromszög első négy komponense
n. komponens egy sor, ami egy két tagból álló polinom n. hatványának binomiális kifejtése:
Az elrendezése
Pascal-3-szimplex nem más, mint a Pascal-tetraéder .
frameless|A Pascal-tetraéder első négy komponense
n. komponens háromszög egy 3 tagból álló polinom n-edik hatványának trinomiális együtthatói tartalmazza:
Az elrendezése
Tulajdonságok A komponensek öröklődése szám szerint megegyezik (m − 1)-lapjával (számuk m + 1):
Ennélfogva (m + 1)-szer tartalmazza -t:
Példa
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 3 6 3 3 6 3 6 6 3 3 3 3 3 3 1 1
A fenti mátrix további tagjait az tartalmazza. Az oldallapok szimmetriája Az Pascal-szimplexet (m + 1)-szer határolja:
Innen következik, hogy minden n-re minden i-lap numerikusan egyenlő a Pascal-(m > i)-szimplexek n. komponensével:
Példa A Pascal-3-szimplex 3. komponensét három egyenlő sor határolja. Mindegyik két 0-lapban végződik (csúcsok):
2-szimplex 2-szimplexek 1-lapjai 1-lapok 0-lapjai
1 3 3 1 1 . . . . . . 1 1 3 3 1 1 . . . . . . 1 3 6 3 3 . . . . 3 . . . 3 3 3 . . 3 . . 1 1 1 .
Tehát minden m-re és n-re:
Az együtthatók száma A Pascal-m-szimplex n. komponense ((m − 1)-szimplex) ennyi multinomiális együtthatót tartalmaz:
azaz vagy az (n − 1). komponens ((m − 1)-szimplex) együtthatóinak darabszámának meg a Pascal-(m − 1)-szimplex n.-edik komponensének ((m − 2)-simplex) együtthatószámának összege, vagy az n. hatvány összes m részes partícióinak száma. Példa + Az együtthatók száma a Pascal-m-szimplex n. komponensében ((m − 1)-szimplex) m-simplex n komponens n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 1-szimplex 0-simplex 1 1 1 1 1 1 2-szimplex 1-simplex 1 2 3 4 5 6 3-szimplex 2-simplex 1 3 6 10 15 21 4-szimplex 3-simplex 1 4 10 20 35 56 5-szimplex 4-simplex 1 5 15 35 70 126 6-szimplex 5-simplex 1 6 21 56 126 252
Ez a táblázat éppen a Pascal-háromszöget tartalmazza szimmetrikus Pascal-mátrix formájában. Szimmetria A Pascal-m-szimplex n. komponense (m!)-szorosan térszimmetrikus. Geometria Ha a k_1 ... k_m tengelyek ortogonálisak az m dimenziós térben, és a komponensek csúcsai ezekre a tengelyekre esnek, akkor a Pascal-m-szimplex csúcsa az origóban van. Numerikus konstrukció Egy elég nagy szám hatványa tördelve megadja a Pascal-szimplexet:
ahol .
Fordítás
Kategória:Kombinációk és polinomiális együtthatók