A geometriában a négyszög olyan sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. A belső szögeinek összege 360°.
Szabályos négyszög A szabályos négyszöget (az euklideszi geometriában) négyzetnek nevezzük, melynek minden oldala egyenlő és minden szöge 90° (derékszög).
Rendszerezés A matematika a kategóriákat az egyszerűség kedvéért bezárólag értelmezi. Emiatt egy négyzetről például elmondhatjuk, hogy egyben téglalap, rombusz. Ha a négyzeteket mint egy halmazt szemléljük, akkor a négyzetek halmaza például olyan halmaz lesz, mely a paralelogrammák, húrnégyszögek és deltoidok halmazának metszete.
A (köznapi szóhasználatnak megfelelő) kizáró kategóriák plusz nehézséget okoznának, mivel minden tétel bizonyításakor vagy használatakor fel kellene sorolni az összes esetet, amire teljesül. Például a vektorok összeadásának kommutativitásáról szóló tétel vizuális bizonyítása paralelogramma diagramként ismert. Kizáró szóhasználattal paralelogramma-téglalap-rombusz-négyzet-diagramként kellene emlegetni.
A négyszögek lehetnek egyszerűek (önmagukat nem metszők) vagy elfajultak (önmagukat metszők). Az egyszerű négyszögek továbbá lehetnek konvexek vagy konkávak. A konvex négyszögek (kivétel deltoid) a következőképpen csoportosíthatók:
Trapéz: legalább két szemközti oldala párhuzamos. Húrtrapéz (szimmetrikus trapéz, néhány tárgyalásban: egyenlő szárú trapéz): olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek szimmetriatengelyére nem illeszkedik csúcs.Kosztolányi József & Kovács István & Pintér Klára & Urbán János & Vincze István (2010): Sokszínű matematika 9 (tankönyv). Szeged: Mozaik Kiadó. . 208. oldal. Húrtrapézt a szimmetriatengelyére tükrözve két-két csúcs éppen helyet cserél: a szimmetriatengely a húrtrapéz két (egymással szemközti) oldalának közös felezőmerőlegese, a másik két (egymással szintén szemközti oldal) pedig egymás tükörképe. A fenti meghatározáson túl sok más ekvivalens tulajdonság is létezik, amik szintén lehetséges definícióként választhatóak, ez részben tükröződik az alakzatot megnevező szinonimák sokaságában is. Paralelogramma: a két-két szemközti oldal párhuzamos. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak egyforma hosszúak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók felezik egymást. Minden paralelogramma trapéz. Deltoid: két-két egymás melletti oldal azonos hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szögek közül az egyik megegyezik a vele szemközti szöggel, és hogy az egyik átló merőlegesen metszi a másikat, és felezi azt. Angol nyelvterületen csak a konvex négyszögeket tekintik deltoidnak, míg a német és magyar nyelvterületen a konkávot is. Minden konvex deltoid érintőnégyszög. Rombusz: mind a négy oldal egyenlő hosszúságú. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak, a szemközti szögek egyenlőek, és az átlók merőlegesen metszik és felezik egymást. A rombusz egyben deltoid és érintőnégyszög is. Téglalap: minden szöge derékszögű. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak és felezik egymást. A téglalap egyben paralelogramma és húrnégyszög is. Négyzet (szabályos négyszög): mind a négy oldal egyenlő hosszúságú, és minden szöge derékszög. Ebből az is következik, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak és páronként egyenlő hosszúak, illetve hogy az átlók egyenlő hosszúak, derékszögben metszik és felezik egymást. A négyzet egyszerre téglalap, paralelogramma, deltoid és húrnégyszög. Húrnégyszög: a négy csúcspont köré kör írható, vagyis minden oldala ugyanannak a körnek a húrja. Érintőnégyszög: minden oldala ugyanannak a beírt körnek az érintője. Bicentrikus négyszög: egyszerre húr- és érintőnégyszög.
600px|balra Magyarázat az ábrához: Terület(ek)sorszáma Megnevezés 1–14 Négyszög 14 Elfajult négyszög 1–13 Egyszerű négyszög 13 Konkáv négyszög 1–12 Konvex négyszög 1–3, 6, 8, 10 Trapéz 1–5, 11 Húrnégyszög 1–3 Húrtrapéz 1, 4–7, 9 Érintőnégyszög 1, 4, 5 Bicentrikus négyszög 1, 2, 6, 8 Paralelogramma 1, 4, 6, 7 Konvex deltoid 1, 4 Bicentrikus deltoid 1, 6 Rombusz 1, 2 Téglalap 1 Négyzet
A rendszerezés finomítása A síknégyszögek különböző szempontok szerint rendszerezhetők: konvex konkáv Szimmetriatulajdonságok: Tengelyes szimmetria a szimmetriatengely egy átló: deltoid szimmetriatengely mindkét átló: rombusz a szimmetriatengely egy oldalfelező: húrtrapéz szimmetriatengely mindkét oldalfelező: téglalap négy szimmetriatengely: négyzet Forgásszimmetria: Kétfogású szimmetria: paralelogramma Négyforgású szimmetria: négyzet Oldaltulajdonságok: Hossz: Két-két szemben fekvő oldalpár egyenlő hosszú: paralelogramma Két-két egymás melletti oldal egyenlő hosszú: deltoid Mind a négy oldal egyenlő hosszú: rombusz Párhuzamosság: Van párhuzamos oldalpár: trapéz Két párhuzamos oldalpár van: paralelogramma Körhöz viszonyított helyzet: Van beírt kör: érintőnégyszög Van körülírt kör: húrnégyszög Van körülírt és beírt kör is: bicentrikus négyszög Átlótulajdonságok: Mindkét átló egyenlő hosszú: húrtrapézok szükséges tulajdonsága Elhelyezkedés: Metszés/érintés: Az átlók nem metszik és nem érintik egymást: konkáv négyszögek szükséges tulajdonsága Az egyik átló felezi a másikat: konvex deltoid szükséges tulajdonsága Az átlók középen felezik egymást: paralelogramma Az átlók által bezárt szög derékszög: deltoidok szükséges tulajdonsága Szögek nagysága: Két pár egyenlő nagyságú szög egymással szemközt: paralelogramma Két pár egyenlő nagyságú szög egymás mellett: húrtrapéz A szemközti szögek összege 180 fok: húrnégyszög A csúcsok elhelyezkedése: A csúcsok egy körön helyezkednek el: húrnégyszög Táblázatos összefoglaló A négyszögek legfontosabb tulajdonságai: Szimmetriatengelyekszáma Pont-szimmet-rikus Szemben fekvő oldalak Egyenlőhosszúoldalak Egyenlő nagyságú szögek A szemben fekvő ~ összege egyenlő párhuzamos egyenlőhosszú szembenfekvő szomszédos oldalak szögekNégyzet4igenpáronkéntmindegyikmindegyikmindegyikmindegyikigenigenTéglalaplegalább 2igenpáronkéntpáronkéntmindegyikmindegyikigenRombuszlegalább 2igenpáronkéntmindegyikmindegyikpáronkéntigenParalelogrammaigenpáronkéntpáronkéntpáronkéntHúrtrapézmind. 1igenigenpáronkéntigenDeltoidlegalább 1páronkéntigenTrapézigenHúrnégyszögigenÉrintőnégyszögigen Képletek Az általános négyszög képleteiTerület Lásd:Bretschneider-formula,Gauß trapézformulája250px|Jelölések a táblázathozAz átlók hossza Lásd: KoszinusztételBelső szögek Lásd: Koszinusztétel
Négyszögek megadása Egy konvex négyszög egybevágóság erejéig megadható öt független adatával, mint: Oldalhosszak Átlóhosszak Belső szögek Kerület Terület
Az adatoknak függetleneknek kell lenniük. Például a négy belső szög nem független, mivel egy négyszög szögeinek összege mindig 360 fok. Ha megengedünk konkáv négyszögeket is, akkor az egyértelműség ne mindig teljesül, például négy oldal és egy belső szög esetén a megadott szöggel szemközti szög konkáv is lehet.
Ha speciális négyszögről van szó, akkor kevesebb adat is elég, mivel a speciális tulajdonságok további független adatokat hoznak be: Négy adat érintőnégyszög, húrnégyszög vagy trapéz megadásához Három adat paralelogramma, deltoid, derékszögű trapéz vagy húrtrapéz estén Két adat téglalaphoz vagy rombuszhoz Egy adat négyzethez Egyenlőtlenségek Az alábbi képletekben , , , a négyszög oldalai, , a négyszög oldalai, a négyszög területe: egyenlőség csak téglalapokra egyenlőség csak négyzetekre egyenlőség csak négyzetekre egyenlőség csak téglalapokra egyenlőség csak akkor, ha az átlók merőlegesek egyenlőség csak akkor, ha az átlók merőlegesek és egyenlő hosszúak A Bretschneider-formula miatt, ha következik az egyenlőtlenség, egyenlőség csak húrnégyszögekre Súlypont thumb|hochkant=1.3|Szabálytalan négyszög területi súlypontja A pontozott vonalakra, a pontra és az és súlypontokra nincs szükség az alternatív megoldáshoz, csak a tisztánlátás kedvéért vannak megjelenítve, például a félegyenesek átlókkal való párhuzamosságának bemutatására.Animálva itt:
Paralelogrammák, így a speciálisabb négyszögek (rombusz, téglalap, négyzet) súlypontja az átlók metszéspontjában található.
Általános négyszög esetén három súlypont is van: az egyik a csúcssúlypont, a másik a területi súlypont, a harmadik pedig az élsúlypont, melyet azonban ritkán használnak. Háromszögek esetén az első két súlypont megegyezik, viszont az élsúlypont eltérhet: a középvonalak által meghatározott középső háromszög beírt körének középpontja. abgerufen am 28. September 2017
Egy általános négyszög területi súlypontja a következőképpen található meg: A négyszöget egy átlójával két háromszögre osztjuk. Meghatározzuk ezek súlypontját oldalfelezők metszéspontjaként. A két pontot összekötjük egy egyenessel. Ezt megismételjük a másik átlóval. A két összekötő egyenes metszéspontja a négyszög területi súlypontja.
A két háromszög közötti egyenes a két háromszög közös súlyvonala, így a négyszögnek is súlyvonala. Tehát a súlypontnak mindkettőn rajta kell lennie.
A csúcssúlypontot megkaphatjuk úgy, hogy a szemben fekvő oldalak felezőpontját összekötjük. Ezek metszéspontja a csúcssúlypont. Egy Descartes-féle koordináta-rendszerben a súlypont koordinátái így számíthatók a csúcsok koordinátáiból:
A mellékelt ábra tartalmazza az eddigi szerkesztéseket, de egy alternatív eljárást is megjelenít. Itt két egymást keresztező háromszög és súlypontjára van szükség. -ből félegyenest indítunk a átlóval párhuzamosan, és egy másik félegyenest az -ből az átlóval párhuzamosan. A két félegyenes metszéspontja éppen a területi súlypont. Ez azt jelenti, hogy az alternatív eljáráshoz nincs szükség a pontozott vonalakra, a pontra és az és súlypontokra.
Jegyzetek
Külső hivatkozások Varignon and Wittenbauer Parallelograms by Antonio Gutiérrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas" Van Aubel's theorem Quadrilateral with four squares by Antonio Gutiérrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas" Compendium Geometry Analytic Geometry of Quadrilaterals Quadrilaterals Formed by Perpendicular Bisectors Projective Collinearity in a Quadrilateral Fordítás
Kategória:Négyszögek 04