A matematika csoportelmélet nevű ágában egy csoport két elemének kommutátora az csoportelem. Az elnevezést az indokolja, hogy egy szorzatnak a szorzandók kommutátorával való szorzása megfordítja a szorzandók sorrendjét: . Két csoportelem éppen akkor felcserélhető egymással, ha a kommutátoruk a csoport egységeleme. Egy csoport éppen akkor Abel-csoport ha benne az egységelem az egyetlen kommutátor.
A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója.
Kommutátor-részcsoport A kommutátorok általában nem alkotnak részcsoportot, mert két kommutátor szorzata nem feltétlenül kommutátor. Beszélhetünk viszont viszont a kommutátorok által generált részcsoportról. Ezt a csoportot kommutátor-részcsoportjának vagy derivált csoportjának nevezzük, és hagyományosan -vel jelöljük.
A kommutátorok homomorf képei maguk is kommutátorok, és speciálisan kommutátorok konjugáltjai is kommutátorok. Ennek megfelelően egy csoport kommutátorainak halmaza teljes konjugáltosztályok uniója. Mivel a kommutátorok halmaza zárt a konjugálásra nézve, az általuk generált részcsoport is az, tehát normálosztó -ben.
A faktorcsoport kommutatív, mi több, a legszűkebb olyan csoport, amely ezzel a tulajdonsággal bír: Más szóval, ha kommutatív, akkor szükségképpen .
akkor és csak akkor a triviális csoport, ha kommutatív, hiszen Abel-csoportban az egyetlen kommutátor az 1, és viszont, ha triviális, akkor nincs nemtriviális kommutátor -ben, tehát a csoport kommutatív. A fentiekből következik, hogy egyszerű nemkommutatív csoportokra .
Jegyzetek
Kapcsolódó szócikkek Kommutátor (gyűrűelmélet)
Kategória:Csoportelmélet