A számelméletben az Euler-szorzat a Dirichlet-sor prímszámokkal indexelt kiterjesztése a végtelenbe. Az elnevezés abból ered, hogy a Riemann-féle zéta-függvény esetét Euler tanulmányozta, és ő bizonyította be annak végtelen szorzat reprezentációját. Definíció Általában, ha az a függvény multiplikatív, akkor a
Dirichlet-sor egyenlő a következővel:
ahol a szorzatot a prímek fölött veszik, és éppen az
összeg.
Hogyha ezeket formális generátorfüggvénynek tekintjük, akkor adódik, hogy egy efféle formális Euler-szorzat kiterjesztése szükséges és elégséges feltétele az a függvény multiplikativitásának. Eszerint azoknak a különböző értékeknek szorzata, ahol p prímosztója n-nek, és n prímtényezős felbontásában p éppen k-szor szerepel.
Speciálisan, ha teljesen multiplikatív, akkor egy mértani sor. Ekkor
mint a Riemann-féle zéta-függvény esete, és általánosabban, a Dirichlet-karakterek esetén. Konvergencia
A gyakorlatban a végtelen soroknak azok a speciális esetei érdekesek, amikor a sor abszolút konvergens. Ezen a tartományon a sor összege nem lehet nulla, így itt a tényezők sem lehetnek nullák.
A moduláris formák tétele szerint tipikus, hogy itt a nevezők másodfokú polinomok. Az általános Langlands-elmélet tartalmaz egy hasonló fejtegetést az m-edfokú polinomokkal kapcsolatban, és a reprezentációelmélet is hasonlót mond GLm-ről. Példák A Riemann-féle zéta-függvényhez kapcsolódó Euler-szorzat a mértani sor összegének felhasználásával
.
A Liouville-függvényre
Reciprokaikat felhasználva a Möbius-függvény két Euler-szorzata
és
A kettő hányadosa:
Mivel páros számokra a Riemann-féle zéta-függvény értéke és egy racionális szám szorzata, ez a végtelen szorzat racionális számot ad értékül páros hatványokra. Például, mivel , , és ,
és így tovább, ami Ramanudzsan első eredménye. Ez a végtelen szorzat a következővel is ekvivalens:
ahol az n különböző prímosztóinak számát jelöli. és a négyzetmentes osztók száma.
Hogyha az N konduktor Dirichlet-karaktere, akkor teljesen multiplikatív, és csak n maradékosztályától függ modulo N, és akkor és csak akkor, ha n nem relatív prím. Ekkor
.
Itt kényelmesebb elhagyni az N konduktor prímosztóit a szorzatból. Ramanudzsan megpróbálta általánosítani az Euler-szorzatot a zéta-függvényre:
minden -re, ahol a polilogaritmus. -re a fenti szorzat nem más, mint Ismert konstansok Sok ismert konstansnak van Euler-szorzatos kifejtése:
A Leibniz-formula a π-re:
értelmezhető Dirichlet-sorként az egyetlen modulo 4 Dirichlet-karakter segítségével, és szuperpartikuláris arányok Dirichlet-szorzatává alakítható:
ahol minden számláló prím, és a nevező a legközelebbi néggyel osztható szám..
További Euler-szorzatok:
Ikerprím-konstans:
Landau-Ramanudzsan-konstans:
Murata-konstans :
Erősen gondtalan konstans :
Artin-konstans :
Landau-konstans :
Gondtalan konstans :
Reciproka :
Feller-Tornier-konstans :
Kvadratikus osztályszám konstans :
Totient összegzési konstans :
Gondtalan konstans :
Erősen gondtalan konstans :
Stephens-konstans: :
Barban-konstans: :
Heath-Brown–Moroz-konstans :
Jegyzetek
Források G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91) Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, * G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) (Chapter 17 gives further examples.) George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"
Kategória:Számelmélet