A számelméletben a Dedekind-féle pszi-függvény egy pozitív egészeken értelmezett multiplikatív függvény. Értéke
ahol a szorzat az n hely prímosztóit futja be. A ψ(1) üres szorzat, értéke 1. Richard Dedekind vezette be a moduláris függvényekhez kapcsolódóan.
A ψ(n) értékei az első néhány helyen: 1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... .
Ha n egynél nagyobb, akkor ψ(n) > n, és minden n > 2 esetén páros. Ha n négyzetmentes szám, akkor ψ(n) = σ(n).
A ψ függvény definiálható úgy is, mint ψ(pn) = (p+1)pn-1, minden p prímre, és a többi helyre a multiplikatív tulajdonsággal kiterjeszthető. Ebből levezethető a generátorfüggvény kapcsolata a Riemann-féle zéta-függvénnyel:
Ez abból is következik, hogy , ahol * a Dirichlet-konvolúció.
Általánosítás Magasabb rendekre is definiálható a Jordan-függvény felhasználásával:
vagy Dirichlet-sorral: .
Kifejezhető, mint egy hatványfüggvény és a Möbius-függvény négyzetének Dirichlet-konvolúciója: .
Jelölje a
a négyzetszámok karakterisztikus függvényét. Ekkor egy másik Dirichlet-konvolúcióval az osztóösszeg-függvény általánosításai is kifejezhetők: .
Források (page 25, equation (1))
Section 3.13.2 a ψ2, a ψ3, és a ψ4
Fordítás
Kategória:Számelmélet