bélyegkép|198px|jobbra|Jelölések
A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:
vagy másként:
Mivel a szög tetszőleges, azért a háromszög másik két oldalára is felírható:
Bizonyítások
Háromszögekre bontással A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával. bélyegkép|320px|jobbra|Koszinusztétel bizonyítása Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:
felhasználva a trigonometriai azonosságot. QED
Megjegyzés Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy helyett szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.
Vektorok segítségével Az háromszög adott. -ből indítsuk a helyvektorokat. -ba mutató vektor legyen . -be mutató vektor legyen . Az és vektorok hajlásszöge legyen .
Ekkor ⇒ ⇔ . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED
Koordinátarendszerben bélyegkép|320px|jobbra|Koszinusztétel bizonyítása koordináta-rendszerben Helyezzük el az -et derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcs az origóba essen, és a csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott oldal és a szög, így a csúcs koordinátái . Ekkor az csúcs koordinátái . Az oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:
QED
Megjegyzés A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).
Alkalmazások
A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).
Két oldal és az általuk bezárt szög thumb|A koszinusztétel alkalmazása: két oldal és az általuk közrezárt szög, illetve három adott oldal Ekkor a koszinusztételt a harmadik oldalra írjuk fel, és négyzetgyököt vonunk. Például, ha az és oldalak és az általuk bezárt szög adottak, akkor:
. Oldalaival adott háromszög Ekkor a koszinusztételt a koszinuszra rendezzük át: .
ahonnan az árkusz koszinusz függvény segít meghatározni a szöget: . Egyenlő szárú háromszög Egyenlő szárú háromszögek esetén a képletek egyszerűsíthetők. Ha például az és oldalak egyenlő hosszúak, akkor a koszinusztétel írható úgy, mint:
vagy
Kapcsolata más tételekkel Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel Egy háromszög derékszögére felírva a tételt: . Mivel , azért visszakapjuk a Pitagorasz-tételt:
így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esete, illetve a koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása. Azonban a koszinusztétel következménye is a Pitagorasz-tételnek. Kapcsolat a projekciós tétellel Minden síkháromszögben teljesülnek ezek a kapcsolatok az oldalak és a szögek között:
ami projekciós tételként ismert. Ezekből az egyenlőségekből teljesülnek a koszinusztétel egyenlőségei. Az euklideszi sík trigonometriájában a projekciós tétel egyenlőségei is következnek a koszinusztétel egyenlőségeiből. Más geometriákban Gömbi geometria A gömbi geometriában a háromszögek oldalhosszait ívmértékben adják meg, így nemcsak egyszer, hanem hatszor kell trigonometriai függvényt használni. A koszinusztételnek két megfelelője van a gömbön. Az egyik az oldalakra felírt koszinusztétel: , ahol ügyelni kell, hogy az előjel fordított a síkgeometriához képest. A másik a szögekre felírt koszinusztétel: , ahol az első előjel negatív. Ezt a két egyenletet együtt nevezik a gömbi koszinusztételnek. Hiperbolikus geometria A hiperbolikus geometriában is két egyenlet alkotja a hiperbolikus koszinusztételt:
ahol és hiperbolikus függvények. Az oldalak hossza így számítható:
Általánosítások Poliéderek A koszinusztétel általánosítható poliéderekre is, ha a poliédereket vektor oldalakkal tekintjük, és alkalmazzuk a Gauss–Osztrohradszkij-tételt.
Speciálisan tetraéderekre, ahol , , és a tetraéder lapjai, és például a és oldalak által bezárt lapszög, a magasabb dimenziós koszinusztétel:
Skalárszorzatos vektorterek Skalárszorzatos vektorterekben a koszinusztétel könnyen általánosítható. Legyen a skalárszorzat,
a skalárszorzat által indukált norma, tehát egy vektor hossza, és a az vekrtorok által bezárt szögre:
Ekkor a normája:
Numerikus számítások Numerikus számításoknál, ha kicsi, az oldalak pedig megközelítően azonos hosszúak, fennáll a vészes kiegyszerűsödés veszélye. Ekkor a következő közelítő képleteket használják:
Története Az első modern értelemben vett koszinusztételt Jamshid al-Kashi perzsa matematikus és csillagász jelentette meg 1427-ben a Miftah al-Hisab (Kulcs a számoláshoz) című könyvében. A 16. században François Viète ismertette meg a nyugati világgal. Franciaországban úgy is ismert, mint théorème d'Al-Kashi.
Megjegyzések
Jegyzetek
Források
"Cosine theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot Interactive applet of Law of Cosines
Fordítás
Kapcsolódó szócikkek
Tangenstétel Szinusztétel Kotangenstétel Vetületi tétel Trigonometrikus azonosságok Mollweide-formula
Kategória:Háromszögek Kategória:Matematikai tételek Kategória:Trigonometria