right|thumb|300x300px|Egy kétdimenziós rács (balra) és annak reciprokrácsa (jobbra). A szilárdtest-fizikában reciprokrácsnak nevezzük azt a rácsot, melyet egy direkt térbeli rács (például egy Bravais-rács) Fourier-transzformálásával kapunk. A direkt rács jellemzően pontok periodikus szerkezete a valós térben, mely a kristály geometriai absztrakciója, míg a reciprokrács a reciproktérben (más kifejezéssel momentumtérben, hullámszámtérben vagy k-térben) adható meg. A reciprokrács reciprokrácsa (a Fourier-transzformáció jellemzőiből adódóan) maga a direkt rács.
A reciprokrács nem pusztán elméleti konstrukció, az anyagtudományban és a kristálytanban igen gyakran meghatározzák. Gyakori példák a diffrakciós kísérletek értelmezése a reciprokrács segítségével, az Ewald-szerkesztés, a rácssíkok, irányok jellemzése Miller-indexekkel, stb.
Matematikai háttér Tekintsük az R direkttérbeli rácsvektorok által kijelölt R pontokat, melyek egy Bravais-rácsot alkotnak. Egy síkhullám hullámegyenlete ekkor: . Ha ennek a síkhullámnak a periódusa megegyezik a Bravais-rács periódusával, akkor érvényes a következő egyenlet: , , . Megadhatjuk a reciprokrácsot azon K vektorok halmazaként, melyek teljesítik a fenti összefüggést az összes R direktrács-vektorral. A reciprokrács szintén Bravais-rács lesz, melynek reciproka ismét visszaadja a direkt rácsot.
Egy primitív rácsvektorokkal megadott végtelen kétdimenziós rács reciprokrácsának rácsvektorai az alábbiak szerint fejezhetők ki: ,
, ahol "" tenzorszorzatot jelöl az és egységvektorok között.
A , primitív rácsvektorokkal megadott háromdimenziós rács reciprokrács-bázisvektorai az alábbiak szerint adható meg: ,
,
. A nevezők itt vegyes szorzatok. Ugyanez kifejezhető másféleképpen is, ha a vektorokat oszlopvektorként tekintve mátrix-formalizmust használunk, ekkor a reciprokrács-bázisvektorok mártix invertálással fejezhetők ki:
Ez utóbbi definíció lehetőséget ad a magasabb dimenziók esetére való általánosításra, míg a vegyes szorzaton alapuló definíció inkább a háromdimenziós esetben célszerű, így az elterjedtebb a kristálytanban és az anyagtudományos méréstechnikában.
A fentivel analóg módon úgy is definiálhatjuk a reciprokrács-vektorokat, hogy a konstans előtagot a feltételben vesszük figyelembe, amivel a reciproktérbeli bázis vektorai: , alakba írhatók (a többi vektor ezzel analóg). Ennek a definíciónak, melyet a kristálytani gyakorlatban gyakran alkalmaznak, az az előnye, hogy a vektor hossza ekkor éppen hosszának reciproka lesz. Ekkor a reciprokrács-vektor valójában térfrekvenciaként fogható fel, melyhez könnyebb szemléletes fizikai magyarázatot adni. Adott alkalmazásban ügyelni kell rá, hogy a fenti két definíció közül mindig csak az egyiket alkalmazzuk.
A reciprokrács egy fontos alkalmazása, hogy annak egy (hkl) koordinátájú pontja direkt térbeli rácssíkoknak és ezekre merőleges rácsirányoknak feleltethető meg. A (hkl) indexeket Miller-indexeknek nevezzük. A reciprokrács-vektor hossza a direkt rács adott rácssíkjára merőleges rácssík-távolsággal hozható összefüggésbe
A reciprokrács a kristályanalitika egy alapvető fogalma, melyet a gyakorlatban is gyakran alkalmaznak például a diffrakciós vizsgálatok eredményeinek értelmezésére, például a röntgen-, elektron- és neutrondiffrakciós vizsgálatokban. A szórási kísérletekben a beeső és szórt nyaláb hullámszámának különbsége reciprok-rácsvektor, így a diffrakciós képből a reciprokrácsról nyerhető közvetlen információ.
A szilárdtestfizikában gyakran említett, a szilárdtestek jellemzőinek megértését szolgáló Brillouin-zóna valójában a reciprokrács Wigner–Seitz-cellája.
Néhány egyszerű rács reciprokrácsa
Egyszerű köbös rács Az egyszerű köbös Bravais-rácsnak, melynek primitív cellája élhosszúságú kocka, a reciprokrácsa szintén köbös rács élhosszúsággal (a kristálytani definícióban ez ). Ezért azt mondhatjuk, hogy a kockarács önmaga duálisa.
Lapcentrált és tércentrált köbös rácsok viszonya A lapcentrált köbös Bravais-rács (FCC) reciprokrácsa tércentrált köbös Bravais-rács (BCC). Ugyanígy, az összefüggés fordítva is teljesül.
Könnyen belátható továbbá, hogy csak a páronként 90 fokot bezáró bázisvektorokkal jellemezhető rácsokra (azaz az ortorombos, a tetragonális és a kockarács esetén) teljesül, hogy a reciprokrács-bázisvektorok párhuzamosak a direktrács rácsvektoraival.
Egyszerű hexagonális rács Az egyszerű, a és c rácsállandókkal jellemzett hexagonális rács reciprokrácsa szintén egyszerű hexagonális rács, melynek rácsállandói illetve és ezeka direkt rácsbeli c tengely körül 30°-kal elforgatottak.
A reciprokrács reciprokrácsára vonatkozó tétel bizonyítása A következőkben megmutatjuk, hogy egy direkt rács reciprokrácsának reciprokrácsa maga a direkt rács.
Tudjuk, hogy a Bravais-rácsvektorok zártak a vektorok összeadására és kivonására, azaz rácsvektorok összege és különbsége is rácsvektor. Ekkor ha tekintünk két rácsvektort, melyekre , és , akkor a két vektor összegére és különbségére is fennáll az összefüggés, azaz
. Ebből következik, hogy a reciprokrács-vektorok is zártak az összeadásra és kivonásra. Továbbá bármely reciprokrács-vektor kifejezhetó a reciprokrács primitív vektoraival: . A definíciója alapján látható, hogy egy reciprokrács bázisvektorra teljesül, hogy: , ahol a Kronecker-delta. Legyen R direkt rácsbeli vektor, mely szintén felírható a direkt rácsbeli bázisban: . A fentiekből látjuk, hogy: . A definíció szerint a reciprok-rácsvektoroknak teljesíteniük kell az alábbi összefüggést:
Ez akkor teljesül, ha a szorzat egész számú többszöröse. Ez viszont teljesül, ugyanis , és . Azaz a reciprokrács szintén Bravais-rács. Továbbá ha a vektorok reciprokrácsot alkotnak, akkor bármely vektor, melyre teljesül, hogy
az reciprokrács reciprokrácsának vektora lesz. vektor meghatározásából, ha éppen egy direkt rácsvektor, akkor visszakapjuk, hogy:
Ebből pedig következik a bizonyítandó állítás.
Kapcsolódó szócikkek Kristálytan Duális bázis Ewald-gömb Miller-index Brillouin-zóna
Források http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html – Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt. DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice
Jegyzetek
Kategória:Kristálytan Kategória:Fourier-analízis