jobbra|bélyegkép|A háromszög súlyvonalai és súlypontja. A geometriában a súlyvonal a háromszög csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes, illetve ennek az egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakasza. Az oldalfelező merőleges, a magasságvonal és a szögfelező mellett a háromszög nevezetes vonalai közé tartozik. A háromszöget két egyenlő területű részre osztja. A három súlyvonal a háromszög súlypontjában metszi egymást, és a súlypont 1:2 arányban osztja a súlyvonalat.
Az összes többi, a háromszög területét megfelező vonal nem megy át a súlyponton.
A gömbháromszögtanban a gömbháromszög csúcsát és oldalfelező pontját összekötő „egyenes” és a fizikai értelemben vett súlyvonal, a csúcson átmenő és a területet megfelező „egyenes”, különbözhet, azonban ekkor is igaz, hogy az utóbbi értelemben vett súlyvonalak egy pontban metszik egymást (ez azonban általában nem harmadolópontja a súlyvonalaknak).Vidra - Lénárt: Gömbi geometria tanterv 7. modul: gömbháromszögek. 41. old. Hiv, beill. 2010. szeptember 24.
Területfelező tulajdonság A háromszög területe megkapható a háromszög egy oldalát a hozzá tartozó magassággal szorozva és ezt a szorzatot megfelezve. A súlyvonal megfelezi a háromszög egyik oldalát, és ezzel két háromszög keletkezik, amiknek egyik magassága megegyezik az eredeti háromszög magasságával, és az ehhez a magassághoz tartozó oldaluk fele az eredeti háromszög oldalának. Így a területük is fele lesz az eredeti háromszög területének.
A három súlyvonal a háromszöget hat egyenlő területű részre osztja.
Tétel a súlypont létezéséről és a súlyvonalak osztási arányáról Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja.
Bizonyítás: Vegyük az ABC háromszöget, és tekintsük az c oldallal párhuzamos középvonalat! Jelölje ennek végpontjait F1 és F2. Ekkor az F1F2C háromszög hasonló lesz az ABC háromszöghöz, és a hasonlóság aránya 1:2.
Az AF2 és a BF1 súlyvonalak metszéspontja S. Az ABS és az F1F2S háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlőek. Mivel az F1F2 középvonal párhuzamos a c oldallal, és hossza annak hosszának fele, ez a hasonlóság szintén 1:2 arányú. Tehát S harmadolja a súlyvonalakat, és a hosszabb rész a csúcs felé esik.
Mivel ez bármely két súlyvonal esetén analóg módon felírható, azért az összes súlyvonal egy pontban metszi egymást. Ez a pont a súlypont.
A háromszögön belül eső szakaszának hosszának kiszámítása a háromszög oldalaiból
Legyen a háromszög oldalainak hossza a, b és c (úgy, hogy ), az a-hoz tartozó súlyvonal pedig s. Tudjuk, hogy a fenti jelölésekkel az a oldalhoz tartozó magasság talppontja, és az a oldal felező pontjának távolsága , az a-hoz tartozó magasság pedig . A Pitagorasz-tétel alapján ebből következik, hogy .
A súlyvonalak háromszögbe eső szakaszainak hosszára:Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
súlyvonalak összege ,
ahol k az adott háromszög kerülete.
Az a, b, c oldalú háromszögben, ahol a súlyvonalak rendre ,
Geometriai ábrázolások
Jegyzetek
Források Fazekas lexikon Tétel a súlypont létezéséről és a súlyvonalak osztásarányáról Reiman István: Geometria és határterületei Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, , S. 63 Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 5. Auflage. Springer, 2016, , S. 21 Rolf Baumann: Mehr Erfolg in Mathematik: 8. Klasse Geometrie. Mentor, 2008, , S. 29 Fordítás
Külső hivatkozások Medians and Area Bisectors of a Triangle The Medians at cut-the-knot Area of Median Triangle at cut-the-knot
Kategória:Háromszögek