A számelméletben egy pozitív egész szám prímtényezőin vagy törzstényezőin a szám prímszám osztóinak összességét értjük. Egy pozitív egész szám prímfelbontása: a szám prímtényezőinek listázása, annak figyelembevételével, hogy hányszor szerepelnek a szám osztói között. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden pozitív egész szám egyféleképpen bontható fel prímtényezők szorzatára.
A prímtényezős felbontást a rövidség érdekében hatványformában szokás felírni. Például
melyben a 2, 3 és 5 prímtényezők multiplicitása 3, 2 illetve 1.
A felbontást a szám kanonikus alakjának is nevezik (pl. ).
Egy n szám p prímtényezőjét tekintve p multiplicitása az a legnagyobb a kitevő, amire pa osztója n-nek.
Egy n pozitív egész számra a prímtényezők száma és a prímtényezők összege (a multiplicitást nem tekintve) olyan számelméleti függvények, melyek additívak, de nem totálisan additívak.
Négyzetszámok A négyzetszámok arról ismerhetőek meg, hogy minden prímtényezőjük páros multiplicitással rendelkezik. Például a 144 (a 12 négyzete) prímtényezői:
Ezeket átrendezve:
Mivel minden prímtényező páros számúszor jelenik meg, az eredeti szám kifejezhető valamely kisebb szám négyzeteként. Hasonlóan, a köbszámok prímtényezőinek multiplicitása a 3 többszöröse s.í.t.
Relatív prímek A közös prímtényezővel nem rendelkező pozitív egész számokat relatív prímeknek (angolul: coprime) nevezik. Ha a és b pozitív egész számok relatív prímek, ha legnagyobb közös osztójuk lnko(a, b) = 1. Az euklideszi algoritmussal meghatározható, hogy két szám relatív prím-e prímtényezőik ismerete nélkül is; az algoritmus a számjegyek száma szerint polinomiális időben fut le.
Az 1 szám minden pozitív egésszel és önmagával is relatív prím. Ennek oka, hogy nincsenek prímtényezői, ő az üres szorzat. Tehát lnko(1, b) = 1 bármely b ≥ 1.
Kriptográfiai alkalmazásai A számok prímfelbontása titkosítási rendszerek kriptográfiai biztonságának fontos részét képezi; a probléma ismereteink szerint a polinomiálisnál hosszabb időt vesz igénybe; viszonylag könnyű olyan problémát megalkotni, aminek megoldása az univerzum életkoránál hosszabb időt venne igénybe jelenlegi algoritmusainkkal.
Omega-függvények Az (omega) megmutatja az n szám különböző prímtényezőinek számát, míg a (nagy omega) függvény, az n szám összes prímtényezőjének a számát Ha ,
akkor .
Például , így és . értéke = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … . értéke = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … .
Jegyzetek
Fordítás
További információk Alice és Bob - 16. rész: Alice és Bob alaptétele
Kapcsolódó szócikkek Összetett szám Oszthatóság Eratoszthenész szitája Erdős–Kac-tétel Számelméleti függvény
Kategória:Prímszámok Kategória:Számelmélet