A számelméletben a téglalapszámok olyan figurális számok, melyek felírhatók két, egymást követő nemnegatív egész szám szorzataként, tehát alakban.. Már Arisztotelész is tanulmányozta őket. A téglalapszámok általánosíthatók az alakú számokra.
Az első néhány téglalapszám:
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 … .
Figurális számokként Arisztotelész metafizikájában a téglalapszámokat más figurális számokkal, a háromszögszámokkal és négyzetszámokkal együtt tanulmányozták,. felfedezésük még korábbra, a püthagoreusokhoz köthető.. A sokszögszámok mintájára:
{| style="text-align: center" |- valign="bottom" |style="padding: 0 1em"| |style="padding: 0 1em"| |style="padding: 0 1em"| |style="padding: 0 1em"| |- |1×2||2×3||3×4||4×5
Az -edik téglalapszám épp kétszerese az -edik háromszögszámnak és -nel haladja meg az -edik négyzetszámot, ami az alternatív képletükből is világos. Az -edik téglalapszám éppen a páratlan négyzetszám és az -edik középpontos hatszögszám közötti különbség.
Első téglalapszám összege
A téglalapszámok figurális mivoltuk miatt a legegyszerűbben téglalapokként ábrázolhatóak, ahogyan az ábrán látható. Az első téglalapszám összegét meghatározhatjuk, ha a nagy téglalap területéből kivonjuk a nem kellő területeket.
A nagy téglalap területe .
Megfigyelhető, hogy a felesleges részek területei soronként az első 1, 2, ..., n-1 pozitív szám összegei, azaz .
Továbbá látható, hogy a felesleges részek pontosan az első téglalapszám összegének a fele.
Ekkor ha az első téglalapszám összegét adja meg, akkor .
Felhasználva, hogy és az algebra szabályait segítségül hívva:
Azaz
Reciprokösszegek
Az első pozitív téglalapszám reciprokösszege a következőképpen alakul:
Ebből kifolyólag a pozitív téglalapszámok reciprokösszege 1:.
Általánosítás
A téglalapszámok általánosíthatóak alakúra, ahol . Ebben az esetben az első pozitív téglalapszám reciprokösszege a következő:
ahol a az első pozitív egész szám reciprokainak összegét, azaz az -dik harmonikus számot adja meg.
Ezen összeg esetben:
Következtetésképpen megállapíthatjuk, hogy a különbségű pozitív téglalapszámok reciprokainak összege , ahol a k-dik harmonikus szám.
További tulajdonságaik Az -edik téglalapszám megegyezik az első páros egész szám összegével. Ebből következik az is, hogy az összes téglalapszám páros, és közülük egyedül a 2 prímszám. Szintén a 2 az egyetlen Fibonacci-téglalapszám és az egyetlen téglalap Lucas-szám...
A négyzetes mátrix átlón kívüli elemeinek száma mindig téglalapszám..
A tény, hogy az egymást követő egészek mindig relatív prímek, a téglalapszámok pedig két egymást követő egész szorzatai, néhány új tulajdonsághoz vezetnek. A téglalapszám minden prímtényezője az őt alkotó tényezők közül pontosan az egyikben fordul elő. Tehát egy téglalapszám csakkor négyzetmentes, ha és is négyzetmentesek. A téglalapszámok különböző prímtényezőinek száma megegyezik az és különböző prímtényezői számának összegével.
További tulajdonsága a téglalapszámoknak, hogy az n-nél 0,5-del nagyobb szám négyzete pont az n-edik téglalapszámnál 0,25-dal nagyobb. Például: 7,52 = 56,25. Ezért az 5-re végződő egész négyzetszámok négyzete 25-re végződik úgy, hogy az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak.
Még egy másik tulajdonságuk, hogy bármelyik n alapú számrendszerben az n-edik, vagyis a számrendszer alapszámával megegyező sorszámú téglalapszám 110 alakban írható fel. Például a nyolcas számrendszerben az 1108 szám 72-t jelent, amely pont a 8. téglalapszám. A tízes számrendszerben épp a tizedik téglalapszám írható fel 110 (száztíz) alakban. Ennek oka ugyanaz, ami miatt a is az egyik kiszámítási képlet alternatívája, vagyis az n-edik téglalapszám az n szám (számrendszer alapszáma) első két hatványának összege.
További információk Tuzson Zoltán: A figurális számokról (II)
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Figurális számok Kategória:Nevezetes számsorozatok