Egy erősen összetett szám (highly composite number, HCN) olyan pozitív egész szám, melynek több osztója van bármelyik nála kisebb pozitív egésznél. A kifejezést elsőként Rámánudzsan használta 1915-ben – Jean-Pierre Kahane szerint azonban visszavezethető Platónig, aki szerint 5040 a városlakók ideális száma, mivel 5040-nek több osztója van a kisebb számoknál.. Kahane cites Plato's Laws, 771c.

Kapcsolódó fogalom a nagyon összetett szám, ami olyan pozitív egészekre vonatkozik, aminek legalább annyi osztója van, mint bármely nála kisebb pozitív egésznek.

Példák Az első, avagy legkisebb 38 erősen összetett szám listája:

Sorszám HCNn prímtényezős felbontás prímekkitevői prím-tényezők d(n) prímoriális felbontás 1 1 0 1 2* 2 1 1 2 3 4 2 2 3 4* 6 1,1 2 4 5* 12 2,1 3 6 6 24 3,1 4 8 7 36 2,2 4 9 8 48 4,1 5 10 9* 60 2,1,1 4 12 10* 120 3,1,1 5 16 11 180 2,2,1 5 18 12 240 4,1,1 6 20 13* 360 3,2,1 6 24 14 7204,2,1 7 30 15 840 3,1,1,1 6 32 16 1260 2,2,1,1 6 36 17 1680 4,1,1,1 7 40 18* 2520 3,2,1,1 7 48 19* 5040 4,2,1,1 8 60 20 7560 3,3,1,1 8 64 21 10080 5,2,1,1 9 72 22 15120 4,3,1,1 9 80 23 20160 6,2,1,1 10 84 24 25200 4,2,2,1 9 90 25 27720 3,2,1,1,1 8 96 26 45360 4,4,1,1 10 100 27 50400 5,2,2,1 10 108 28* 55440 4,2,1,1,1 9 120 29 83160 3,3,1,1,1 9 128 30 110880 5,2,1,1,1 10 144 31 166320 4,3,1,1,1 10 160 32 221760 6,2,1,1,1 11 168 33 277200 4,2,2,1,1 10 180 34 332640 5,3,1,1,1 11 192 35 498960 4,4,1,1,1 11 200 36 554400 5,2,2,1,1 11 216 37 665280 6,3,1,1,1 12 224 38* 720720 4,2,1,1,1,1 10 240

A következő táblázat megmutatja az egyik ilyen szám összes osztóját.

{| class="wikitable" style="text-align:center;table-layout:fixed;" |- |colspan="6"| Az erősen összetett szám: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|1×10080 |style="line-height:1.4"| 2 × 5040 |style="line-height:1.4"| 3 × 3360 |style="line-height:1.4"| 4 × 2520 |style="line-height:1.4"| 5 × 2016 |style="line-height:1.4"| 6 × 1680 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|7× 1440 |style="line-height:1.4"| 8 × 1260 |style="line-height:1.4"| 9 × 1120 |style="line-height:1.4"| 10 × 1008 |style="line-height:1.4"| 12 × 840 |style="line-height:1.4"| 14 × 720 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|15× 672 |style="line-height:1.4"| 16 × 630 |style="line-height:1.4"| 18 × 560 |style="line-height:1.4"| 20 × 504 |style="line-height:1.4"| 21 × 480 |style="line-height:1.4"| 24 × 420 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|28× 360 |style="line-height:1.4"| 30 × 336 |style="line-height:1.4"| 32 × 315 |style="line-height:1.4"| 35 × 288 |style="line-height:1.4"| 36 × 280 |style="line-height:1.4"| 40 × 252 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|42× 240 |style="line-height:1.4"| 45 × 224 |style="line-height:1.4"| 48 × 210 |style="line-height:1.4"| 56 × 180 |style="line-height:1.4"| 60 × 168 |style="line-height:1.4"| 63 × 160 |- style="color:#000000;background:#ffffff;" |style="line-height:1.4" height=64|70× 144 |style="line-height:1.4"| 72 × 140 |style="line-height:1.4"| 80 × 126 |style="line-height:1.4"| 84 × 120 |style="line-height:1.4"| 90 × 112 |style="line-height:1.4"| 96 × 105 |- |colspan="6"|Megjegyzés:  A félkövér számok maguk is erősen összetett számok. Csak a huszadik erősen összetett szám, 7560 (= 3 × 2520) hiányzik.A 10080 egy úgynevezett 7-sima szám . |} A . erősen összetett szám megtalálható Achim Flammenkamp weboldalán. 230 prím szorzata adja ki:

ahol egymást követő prímszámok sorozata, és a kihagyott tagok (a22-tól a228-ig) egyes kitevőjű tényezők (tehát másként felírva a szám )..

thumb|250px|Az 1–1000 közötti egész számok osztóinak száma. Az első 15 erősen összetett szám félkövéren látható.

Prímtényezős felbontás Ahhoz, hogy egy szám erősen összetett legyen, nagyjából arra van szükség, hogy lehetőleg minél kisebb prímtényezői legyenek, de ne legyen túl sok egyforma belőlük. A számelmélet alaptétele szerint minden pozitív egész n egyedi prímtényezős felbontással rendelkezik:

ahol prímszámok, a kitevők pedig pozitív egész számok.

Az n bármely osztójának prímenként kisebb vagy egyenlő multiplicitással kell rendelkeznie, mint n-nek:

Tehát n osztóinak száma:

Ezért, n akkor lehet erősen összetett szám, hogyha

a k db pi prímszám pontosan az első k prímszámmal (2, 3, 5, ...) egyezik meg; ha nem így lenne, valamelyik prímszámot lecserélhetnénk kisebb prímszámra, így n-nél kisebb számot kapnánk ugyanannyi osztóval (például a 10 = 2 × 5 esetében a lecserélt 6 = 2 × 3 számnak ugyanúgy 4 osztója van);

a kitevők sorozatának nem növekvőnek kell lennie, tehát ; egyébként két kitevő kicserélésével az előző példához hasonlóan n-nél kisebb számot kapnánk ugyanannyi osztóval (például 18 = 21 × 32 kicserélhető a 12 = 22 × 31 számra; mindkettőnek 6 osztója van).

Továbbá, a két speciális eset n = 4 és n = 36 kivételével, az utolsó ck kitevőnek 1-nek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy kizárólag az 1, a 4 és a 36 négyzetszám az erősen összetett számok közül. Az, hogy a kitevők sorozata nem növekvő, ekvivalens azzal az állítással, hogy az erősen összetett számok prímoriálisok szorzataként állnak elő.

Aszimptotikus növekedés és sűrűség Ha Q(x) jelöli az x-nél nem nagyobb erősen összetett számok számát, akkor létezik két, 1-nél nagyobb a és b konstans, melyekre igaz, hogy

Az egyenlőtlenség első részét Erdős Pál bizonyította 1944-ben, a másodikat Jean-Louis Nicolas 1988-ban. A konstansokra a jelenlegi legjobb közelítésSándor et al (2006) p.45

és

Kapcsolódó sorozatok A 6-nál nagyobb erősen összetett számok egyben bővelkedő számok is, ami egy adott erősen összetett szám három-négy legnagyobb osztójára nézve azonnal nyilvánvaló. Téves az az állítás, hogy az erősen összetett számok tízes számrendszerben mind Harshad-számok lennének. Az első HCN, ami nem Harshad-szám a , melynek számjegyösszege 27, ami nem osztója a -nak.

Az első 38 erősen összetett számból 10 egyben kiváló erősen összetett szám is. Az erősen összetett számok sorozata részsorozata a pontosan n osztóval rendelkező legkisebb k számok sorozatának .

Egy n pozitív egész nagyon összetett szám', ha d(n) ≥ d(m) minden m ≤ n-re. A nagyon összetett számokat számláló QL(x) függvény eleget tesz a

egyenlőtlenségnek minden pozitív c,d-re, amennyiben .Sándor et al (2006) p.46

Mivel az erősen összetett számok prímtényezős felbontásában az első k'' prím hiány nélkül szerepel, ezért minden erősen összetett szám egyben praktikus szám is.. Az ilyen számok közül sokat használtak hagyományos mértékegységrendszerek váltószámaként, mérnöki tervekben, mert jól kezelhetők a törtekkel való számítások során.

Kapcsolódó szócikkek Erősen tóciens szám Euler-függvény

Fordítás

Jegyzetek

(online )

Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.

További információk

Algorithm for computing Highly Composite Numbers First 10000 Highly Composite Numbers Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors Online Highly Composite Numbers Calculator

Kategória:Nevezetes számsorozatok