A matematikában a valódiosztóösszeg-sorozat vagy röviden osztóösszeg-sorozat (aliquot sequence) olyan rekurzív sorozat, melynek minden tagja az előző tag valódi osztóinak összege. Formálisan, a k pozitív egésszel kezdődő osztóösszeg-sorozat az s valódiosztóösszeg-függvény segítségével így írható fel: s0 = k sn = s(sn−1).

Például a 10 osztóösszeg-sorozata 10, 8, 7, 1, 0 mivel:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8 s(8) = 4 + 2 + 1 = 7 s(7) = 1 s(1) = 0

Az osztóösszeg-sorozatok jelentős része 0-nál áll meg ; az összes ilyen sorozat eljut egy prímszámig, amit az 1 (mert a prímszámok egyetlen valódi osztója az 1), majd a 0 követ (mivel az 1-nek nincsenek valódi osztói). Több módon is megtörténhet azonban, hogy egy osztóösszeg-sorozat nem ér véget: A tökéletes számok osztóösszeg-sorozata 1 periódussal ismétlődik. Például a 6 osztóösszeg-sorozata: 6, 6, 6, 6, ... A barátságos számok osztóösszeg-sorozata 2 periódussal ismétlődik (osztóösszeg-kört – aliquot cycle – alkot). Például a 220 osztóösszeg-sorozata: 220, 284, 220, 284, ... A társas számok osztóösszeg-sorozata 3 vagy hosszabb periódussal ismétlődik. (Néha a „társas számok” definíciójába a barátságos számokat is beleértik.) Például az 1264460 osztóösszeg-sorozata 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ... Vannak olyan számok, melyek osztóösszeg-sorozata végül periodikussá válik, de maga a szám nem tartozik sem a tökéletes, sem a barátságos, sem a társas számok közé. Például a 95-höz tartozó osztóösszeg-sorozat: 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... . Az olyan számokat, melyek nem tökéletesek, de osztóösszeg-sorozatuk végül 1 periódussal ismétlődik, törekvő számoknak nevezik. (). Az érinthetetlen számok nincsenek benne az s(n) értékkészletében, tehát az osztóösszeg-sorozat első tagjaként fordulnak csak elő.

Az n-nel kezdődő osztóösszeg-sorozatok hosszúsága: 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ...

Az n-nel kezdődő osztóösszeg-sorozatok utolsó tagja (az 1 előtt megállítva): 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ...

Számok, melyek osztóösszeg-sorozata 1-gyel végződik: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ...

Számok, melyek osztóösszeg-sorozata tökéletes számban végződik (törekvő számok): 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ...

Legalább 2 hosszúságú periódusban végződő osztóösszeg-sorozatú számok: 220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ...

Számok, melyek osztóösszeg-sorozatáról nem ismert, hogy véges, vagy periodikus-e: 276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ...

Catalan egyik fontos, a valódiosztóösszeg-sorozatokkal kapcsolatos sejtése, hogy mindegyik sorozat a fentiekben felsorolt valamelyik módon végződik – prímszámmal, tökéletes számmal, barátságos vagy szociábilis számok periodikus sorozatával. Az alternatíva az lenne, ha létezne olyan szám, melynek osztóösszeg-sorozata végtelen, de aperiodikus. Bármelyik szám ilyen lehet, melynek osztóösszeg-sorozatát még nem sikerült teljesen meghatározni. Az első 5 ilyen számot a Lehmer five-nak nevezik (Dick Lehmerről): 276, 552, 564, 660 és 966.

2015 áprilisi adat szerint a -nél kisebb számok közül 898-nak nem volt ismert a teljes sorozata, az -nál kisebb számok közül pedig 9190-nek.

További információk Orthmayr Flóra: A tökéletes számok és társaik (BSc szakdolgozat) Tables of Aliquot Cycles (J.O.M. Pedersen) Aliquot Page (Wolfgang Creyaufmüller) Aliquot sequences (Christophe Clavier) Forum on calculating aliquot sequences (MersenneForum) Aliquot sequence summary page for sequences up to 100000 (there are similar pages for higher ranges) (Karsten Bonath) Active research site on aliquot sequences (Jean-Luc Garambois)

Jegyzetek

Források Manuel Benito; Wolfgang Creyaufmüller; Juan Luis Varona; Paul Zimmermann. Aliquot Sequence 3630 Ends After Reaching 100 Digits. Experimental Mathematics, vol. 11, num. 2, Natick, MA, 2002, p. 201-206. W. Creyaufmüller. Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im Detail. Stuttgart 2000 (3rd ed.), 327p.

Kategória:Számelmélet