A számelmélet területén a sima számok (smooth or friable numbers) vagy n-sima számok olyan egész számok, melyek prímtényezői mind egy megadott számnál (n-nél) kisebb prímszámok. A kifejezést valószínűleg Leonard Adleman alkotta meg.M. E. Hellman, J. M. Reyneri, "Fast computation of discrete logarithms in GF (q)", in Advances in Cryptology: Proceedings of CRYPTO '82 (eds. D. Chaum, R. Rivest, A. Sherman), New York: Plenum Press, 1983, p. 3–13, online quote at Google Scholar: "Adleman refers to integers which factor completely into small primes as “smooth” numbers." A sima számok különösen fontosak a kriptográfia faktorizációval kapcsolatos alkalmazásaiban. A 2-sima számok egyszerűen kettő hatványai.

Meghatározás Egy pozitív egész szám B-sima, ha egyetlen prímtényezője sem nagyobb B-nél. Például az 1620 prímtényezős felbontása ezért 1620 5-sima, mivel egyetlen prímtényezője sem nagyobb 5-nél. A definíció megengedi, hogy a sima számból egyes kisebb prímtényezők hiányozzanak; például a 10 és a 12 is 5-sima szám, pedig hiányzik belőlük a 3, illetve az 5 mint prímtényező. Az 5-sima számokat reguláris számoknak vagy Hamming-számoknak is hívják; a 7-sima számokat szerény számoknak is hívják, néha pedig erősen összetettnek,Sloane's A002473: 7-smooth numbers bár ez ütközik az erősen összetett számok általánosan elfogadott definíciójával.

Vegyük észre, hogy B nem feltétlenül prím. Ha egy szám legnagyobb prímtényezője p, akkor a szám B-sima bármely B ≥ p esetben. Általában a megadott B prímszám, de összetett szám is lehet. Egy szám akkor és csak akkor B-sima, ha p-sima, ahol p a B-nél nem nagyobb prímszámok közül a legnagyobb.

Alkalmazásai A sima számok fontos gyakorlati alkalmazást nyernek a különböző gyors Fourier-transzformációs (FFT) algoritmusokban, mint amilyen a Cooley–Tukey-algoritmus, ami egy n nagyságú problémát rekurzívan a prímtényezőinak megfelelő méretű problémákra bont fel. B-sima számok használatával be lehet biztosítani, hogy a rekurzív algoritmus kis prímekre bontja fel a számot, amikre már léteznek hatékony algoritmusok. (A nagy prímszámok kevésbé hatékony algoritmusokat igényelnek, mint amilyen a Bluestein-algoritmus.)

Az 5-sima vagy szabályos számok különleges szerepet játszanak a babiloni matematikában.. Fontosak továbbá a zeneelméletben.. az ilyen számok hatékony előállítása pedig gyakori tesztfeladat a funkcionális programozásban..

A sima számoknak van néhány alkalmazásuk a kriptográfia területén is.David Naccache, Igor Shparlinski, "Divisibility, Smoothness and Cryptographic Applications", http://eprint.iacr.org/2008/437.pdf Bár ezek főleg a kriptoanalízist szolgálják (pl. a leggyorsabb ismert faktorizációs algoritmusok), a VSH (very smooth hash) függvény a simaság konstruktív használatára példa, melynek segítségével bizonyíthatóan biztonságos hash függvényt terveztek.

Eloszlásuk Jelölje az x-nél nem nagyobb y-sima egészek számát (De Bruijn-függvény).

Ha a B simasági korlát kicsi és állandó, akkor létezik jó becslés -re:

ahol a -nél nem nagyobb prímek számát jelöli.

Máskülönben, vezessük be az u paramétert, ahol u = log x / log y: tehát, x = yu. Ekkor,

ahol a Dickman-függvény.

Hatványsima számok Továbbá, az m szám B-hatványsima (B-powersmooth), ha minden m-et osztó prímhatványára igaz, hogy:

.

Például a 720 5-sima, de nem 5-hatványsima (mert több prímhatvány-osztó is nagyobb 5-nél, például vagy ). Elmondható viszont, hogy 16-hatványsima, mivel 720 legnagyobb prímhatványosztója . Természetesen szintén 17-hatványsima, 18-hatványsima, stb.

A B-sima és B-hatványsima számok számelméleti jelentősége például a Pollard-féle p − 1 algoritmusban van. Az ilyen jellegű alkalmazások gyakran „sima számokkal” működnek B specifikálása nélkül; ez úgy értendő, hogy a számok B-hatványsimák valamely nem meghatározott kicsi B számra; ahogy B növekszik, az algoritmus vagy módszer hatékonysága gyors ütemben csökken. Például a diszkrét logaritmus számítására használt Pohlig–Hellman-algoritmus futási ideje B-sima rendű csoportokra O(B1/2).

Kapcsolódó szócikkek Durva számok Størmer-tétel Erősen összetett számok

Jegyzetek

Irodalom G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, (AMS, 2015) A. Granville, Smooth numbers: Computational number theory and beyond, Proc. of MSRI workshop, 2008

További információk

Az On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) listázza a B-sima számokat néhány kis B értékre: 2-sima számok: A000079 (2i) 3-sima számok: A003586 (2i3j) 5-sima számok: A051037 (2i3j5k) 7-sima számok: A002473 (2i3j5k7l) 11-sima számok: A051038 (etc...) 13-sima számok: A080197 17-sima számok: A080681 19-sima számok: A080682 23-sima számok: A080683

Kategória:Analitikus számelmélet Kategória:Nevezetes számsorozatok