thumb|300px|Az 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + ... összeg 1-hez való konvergenciájának ábrázolása. Minden sorban k db négyzet van, 1/k oldalhosszúsággal, melyek területösszege 1/k, az összes négyzet pedig pontosan lefed egy nagyobb, 1 területű négyzetet. Az 1/1807 vagy kisebb oldalhosszúságú négyzetek nem szerepelnek az ábrán
A számelmélet területén a Sylvester-sorozat (vagy Sylvester-féle sorozat) olyan egész számokat tartalmazó sorozat, melynek első tagja a 2, és minden további tag az előző tagok szorzatánál 1-gyel nagyobb szám. Így az első néhány tagja: 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 .
A Sylvester-sorozatot James Joseph Sylvester (1814–1897) brit matematikusról nevezték el, aki 1880-ban elsőként tanulmányozta azt. A sorozat tagjai dupla exponenciális sebességgel nőnek, a reciprokok sorösszege pedig gyorsabban tart 1-hez, mint bármely más egységtört-sorozat. A rekurzív definíció lehetővé teszi a sorozat tagjainak gyorsabb prímtényezőkre bontását a velük azonos nagyságrendű egész számokhoz képest, de a sorozat rendkívül gyors növekedése miatt így is csak az első néhány tagnak ismert a pontos felbontása. A sorozat felhasználható az 1 véges egyiptomitört-felbontásaihoz, a Szaszaki–Einstein-sokaságok (, ) konstruálásához és egyes bonyolultabb online algoritmusokban (olyan algoritmusok, amelyek a bemenetet nem egyszerre kapják meg, hanem több részben, a feldolgozási folyamat közben).
Formális definíciók A Sylvester-sorozat formális meghatározása:
Az üres szorzat értéke megegyezés szerint 1, ezért s0 = 2 a sorozat kezdőértéke.
Egy másik rekurzív definíció: és (minden -ra) Könnyen megmutatható a két definíció egyenértékűsége (teljes indukcióval).
Zárt alak, aszimptotikus viselkedés A Sylvester-számok n függvényében dupla exponenciálisan nőnek. Megmutatható, hogy
egy E számra, ami körülbelül 1,264084735305302. feladatként határozta ezt meg, lásd még . Ez azt jelenti, hogy s0 az E2-hez legközelebb álló egész szám, s1 az E4-hez legközelebb álló egész szám, s2 az E8-hoz legközelebb álló egész szám stb.
Az előbbi képlet hatásában a következő algoritmussal egyezik meg: bármely sn-re, vedd E2-et, emeld négyzetre n-szer, majd vedd a hozzá legközelebbi egész számot. Ez viszont csak akkor lehetne praktikus algoritmus, ha az sn kiszámolásán, majd egymás utáni négyzetgyökvonásokon kívül lenne más módja is E meghatározásának.
A Sylvester-sorozat dupla exponenciális növekedése nem meglepő, ha összehasonlítjuk az Fermat-számok sorozatával, hiszen a Fermat-számok az előbbi megszokott képlet mellett a Sylvester-sorozathoz hasonló módon is megadhatóak:
Egyiptomi törtekkel való kapcsolatai A Sylvester-sorozat reciprokai által kapott egységtörtek végtelen sora a következő:
A sor részösszegeinek egyszerű alakja:
ami igazolható indukcióval, vagy akár közvetlen módon – belátva, hogy a rekurzióból következik az
összefüggés, amivel teleszkopikus összegzést végezve:
Mivel a részösszegek ezen sorozata 1-hez konvergál, ezért a teljes sor az 1-nek végtelen egyiptomitört-reprezentációját adja:
Az 1 bármilyen hosszú egyiptomitört-megfeleltetése megkapható a sorozat „levágásával”, majd az utolsó tört nevezőjéből 1 levonásával, például:
Ez általánosan így néz ki egy tetszőleges k index esetén: .
A végtelen sorozat első k tagjának összege adja a legközelebbi lehetséges alsó becslését 1-nek az összes k-tagú egyiptomi törtes sorozat között.Ezt az állítást általában -nek tulajdonítják, de ugyanezt a kijelentést teszi egy korábbi írásában. Lásd még , és . Például az első négy tag összege 1805/1806, ezért bármely (1805/1806, 1) intervallumban lévő egyiptomitört-megfeleltetés legalább 5 elemet igényel.
A Sylvester-sorozat úgy is felfogható, mint egy egyiptomi törteket előállító mohó algoritmus , ami minden lépésben kiválasztja a lehető legkisebb nevezőt, amitől a sor részösszege még 1 alatt marad. Más megközelítésben a sorozat első tagjától tekinthető az ½ páratlan mohó felbontásának.
Egyediség és racionális összegű gyorsan növő sorok Amint azt Sylvester maga is megjegyezte, a Sylvester-sorozat egyedinek tűnik abban a tekintetben, hogy ilyen gyorsan növekvő értékek mellett a reciprokok összege racionális számhoz konvergál. A Sylvester-sorozat példát nyújt arra, hogy önmagában a dupla exponenciális növekedés nem elégséges feltétele a sorozat irracionális voltának.Guy,2004
Ha egy sorozat elég gyorsan nő ahhoz, hogy
és a sorozat egy A racionális számhoz konvergál, akkor egy bizonyos küszöbindextől kezdődően minden n indexre az sorozatot ugyanazon
rekurrencia-szabály kell meghatározza, mint a Sylvester-sorozatot .
sejtése szerint az ilyen típusú eredményekben a sorozat növekedését korlátozó egyenlőtlenség lecserélhető a következő gyengébb feltételre:
vizsgálta a sejtés megoldásának előrehaladását; lásd még .
Oszthatóság és prímfelbontások Ha i < j, a definícióból következik, hogy . Ezért a Sylvester-sorozat bármely két tagja relatív prím. Továbbá a sorozat tagjainak egyetlen prímtényezője sem lehet kongruens 5-tel modulo 6. A sorozat segítségével bebizonyítható, hogy végtelen sok prímszám létezik (hiszen bármely prímszám a sorozat legfeljebb egy tagjának lehet osztója), sőt, sorozat segítségével az is bebizonyítható, hogy végtelen sok olyan prím létezik, ami kongruens 7-tel modulo 12.Guy,Nowakowski(1975)
A Sylvester-számok faktorizációjával kapcsolatban számos kérdés áll még nyitva. Nem ismert például, hogy minden tag négyzetmentes-e.
Ahogy írja, könnyen meghatározható, hogy adott p melyik Sylvester-számnak osztója (ha osztója bármelyiknek): egyszerűen modulo p kell számítani a Sylvester-sorozat rekurrenciáját, amíg olyan számhoz nem érünk, ami kongruens 0-vel (mod p), vagy ismétlődő modulushoz. Ezzel a technikával az első 3 millió prímszám közül 1166 vagy 1167 prímosztóját találta meg a Sylvester-számoknak, melyek közül egyiknek a négyzete sem volt osztója Sylvester-számnak. A Sylvester-számokat osztó prímszámok sűrűsége nulla az összes prímszám között:Jones(2006) valóban, az x-nél kisebb ilyen prímek száma .Odoni(1985)
A következő táblázat a Sylvester-számok prímtényezős felbontását mutatja be (kivétel az első 4 tag, amik prímek).Az sn Sylvester-számok azon p prímtényezőit, ahol p < 5 és n ≤ 200, Vardi listázza. Ken Takusagawa listázza a felbontásokat egészen s9-ig, illetve s10-ig. A többi prímtényezős felbontást a Jens Kruse Andersen által fenntartott a list of factorizations of Sylvester's sequence oldal tartja számon. Konvenció szerint Pn és Cn bizonyos n számjegyű prímszámokat, illetve összetett számokat jelölnek.
n sn prímtényezői413 × 13953263443, ami prím6547 × 607 × 1033 × 31051729881 × 67003 × 9119521 × 621215748185295435634831 × 31401519357481261 × 773669302140219919922779181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851102287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × P1561173 × C416122589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × C7851352387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × C16001413999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × C32931517881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × C661816128551 × C1333517635263 × 1286773 × 21269959 × C266611850201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × C53313 19775608719589345260583891023073879169 × C10668520352867 × 6210298470888313 × C21341921387347773 × 1620516511 × C4268632291798039513 × C853750
Alkalmazásai a Sylvester-sorozat tulajdonságait használják fel arra, hogy nagy számú olyan Szaszaki-féle Einstein-sokaságot definiáljanak, melyek differenciális topológiája megegyezik a páratlan dimenziójú gömbökével vagy egzotikus gömbökével. Megmutatják, hogy a 2n − 1 dimenziós topologikus gömb különböző Szaszaki-féle Einstein-metrikája legalább arányos az sn-nel, így n-re nézve dupla exponenciálisan nő.
Ahogy is lejegyezte, és a Sylvester-sorozatból vett értékekkel konstruált alsó korlátos példákat az online ládapakolási algoritmusokhoz. hasonlóan használta fel a sorozatot egy kétdimenziós szabási feladat-algoritmus teljesítményének alsó korlátjának beállítására.Munkájukban Seiden és Woeginger végig „Salzer sorozata”-ként hivatkoznak a Sylvester-sorozatra, legjobb approximációra vonatkozó munkája nyomán.
A Znám-probléma olyan számhalmazokkal foglalkozik, melyek közül bármelyik szám osztója az összes többi szám szorzata plusz 1-nek, de egyik szám sem azonos vele (tehát valódi osztója). Az utóbbi követelmény hiányában a Sylvester-sorozat értékei megoldásait adnák a problémának; a követelménnyel együtt más megoldásai vannak, melyek a Sylvester-sorozatéhoz hasonló rekurziókból származnak. A Znám-probléma megoldásainak a felületi szingularitások osztályozásában (Brenton and Hill 1988) és a nemdeterminisztikus véges állapotú automaták elméletében vannak alkalmazásai.Domaratzki,Ellul,Shallit,Wang(2005)
leírja a k taggal való, egyhez legközelebbi közelítések egy alkalmazását a tökéletes számok osztószámának alsó korlátjának meghatározásában; ugyanezt a tulajdonságot használja bizonyos csoportok méretére vonatkozó alsó korlát meghatározására.
Kapcsolódó szócikkek Cahen-állandó Elsődleges áltökéletes számok Eukleidész–Mullin-sorozat
Jegyzetek
Irodalom
Jones, Rafe (2006). "The density of prime divisors in the arithmetic dynamics of quadratic polynomials" arXiv:math.NT/0612415
További információk Irrationality of Quadratic Sums, from K. S. Brown's MathPages.
Kategória:Egyiptomi törtek Kategória:Nevezetes számsorozatok Kategória:Végtelen sorok Kategória:Számelmélet