A számelmélet területén a Dorin Andrica román matematikusról elnevezett Andrica-sejtés a prímszámok közötti hézagokról szóló sejtés.
A sejtés állítása szerint a
egyenlőtlenség minden -re teljesül, ahol az n-edik prímszám. Ha jelöli az n-edik prímhézagot, akkor az Andrica-sejtés a következőképpen is megfogalmazható:
Empirikus bizonyítékok Imran Ghory a legnagyobb prímhézagokra vonatkozó adatok felhasználásával igazolta a sejtést egészen 1,3002 · 1016-ig.Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13. A fenti prímhézag-egyenlőtlenség és a táblázatok segítségével a sejtés egészen 4 · 1018-ig bizonyított.
Az diszkrét függvény grafikonja a jobb oldalon látható. Az csúcsértékei n = 1, 2 és 4-nél találhatók; A4 ≈ 0,670873..., aminél nincs nagyobb érték az első 105 prím között. Mivel az Andrica-függvény értéke n növekedésével aszimptotikusan csökken, nagy n-eknél egyre nagyobb prímhézagra van szükség a különbség növeléséhez. Emiatt erősen valószínűnek tűnik, hogy a sejtés igaz, bár még nem sikerült bizonyítani.
Általánosításai Az Andrica-sejtés egyszerű általánosítása a következő egyenlőség:
ahol az n-edik prímszám, x pedig bármely pozitív valós szám lehet.
Az x legnagyobb lehetséges értéke nyilvánvalóan -nél van, amikor xmax = 1. A sejtések szerint x-re a legkisebb megoldás xmin ≈ 0,567148... , ami n = 30-nál teljesül.
Az általánosított Andrica-sejtést fel lehet írni egyenlőtlenség formájában is: , ahol
Kapcsolódó szócikkek Cramér-sejtés Legendre-sejtés Firoozbakht-sejtés
Jegyzetek
További információk Andrica's Conjecture at PlanetMath Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
Kategória:Prímszámokkal kapcsolatos sejtések