A matematika, azon belül a számelmélet területén a prímhézag (prime gap, jelölése a gap-ből gyakran g) két egymást követő prímszám közötti különbséget jelenti. Az n-edik prímhézag, jelölje gn vagy g(pn) az (n + 1)-edik és az n-edik prímszámok közötti különbség:
Így tehát g1 = 1, g2 = g3 = 2, g4 = 4 stb. A prímhézagok (gn) sorozatát átfogóan tanulmányozták, mégis számos nyitott kérdés és sejtés létezik velük kapcsolatban.
Az első 60 prímhézag:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... .
A gn sorozat definíciójából következik, hogy minden prímszám felírható a következő alakban:
Egyszerű megfigyelések Az első, legkisebb, és egyetlen páratlan prímhézag (1) az egyetlen páros prímszám (2) és az első páratlan prímszám (3) között van. Az összes többi prímhézag páros. Egyetlen olyan prímhézag-páros van, ami maga is prímszámokból áll, a g2 és g3 a 3, 5 és 7 között.
Bármely P prímszám esetén P#-tel jelöljük P primoriálisát, tehát az összes prímszám szorzatát P-ig bezárólag, P-t is beleértve. Ha Q a P-t közvetlenül követő prímszám, akkor a következő sorozat:
Q − 2 egymást követő egész számot tartalmaz, tehát itt a prímhézag legalább Q − 1 hosszúságú. Ebből következik, hogy tetszőlegesen nagy prímhézagok léteznek, így tehát bármely P prímszámhoz tartozik olyan n egész szám, ahol gn ≥ P. (Belátható, ha n-et úgy választjuk meg, hogy pn a legnagyobb prímszám, ami kisebb P# + 2-nél.) A tetszőlegesen nagy prímhézagok létezése a prímszámtételből kiindulva is belátható, mi szerint a prímszámok sűrűsége közelít a nullához. A tétel szerint P# igen durva közelítésben exp(P) nagyságú, exp(P) környezetében pedig az egymást követő prímszámok közötti átlagos távolság P.
A gyakorlatban a P méretű prímrések a P#-nál jóval előbb jelentkeznek. Például a 71 egymást követő összetett számból álló szekvencia először 31398 és 31468 között jelentkezik, míg a 71# huszonhét számjegyből áll – tízes számrendszerben 557940830126698960967415390.
Bár a prímszámok közti átlagos hézag nagysága a számok természetes logaritmusa szerint növekszik, a maximális prímhézag és a benne foglalt egészek közötti arány szintén nő, ahogy egyre nagyobb számok és prímhézagok fordulnak elő.
Az ellenkező irányt tekintve, az ikerprímsejtés szerint végtelen sok n helyen.
Numerikus eredmények 2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható valószínű prím végekkel hosszúságú, a hozzá tartozó 216849 jegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta, ennek a jósága M=10,2203. A legnagyobb ismert prímhézag, aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók, hosszúságú, a szélein lévő 18662 jegyű prímszámokat P. Cami, M. Jansen és J. K. Andersen találták meg.A proven prime gap of 1113106
Nevezzük gn-t maximális prímhézagnak, ha gm < gn minden m < n esetben. 2016 júniusában a legnagyobb ismert maximális prímhézag 1476 hosszúságú, Tomás Oliveira e Silva találta meg. Ez sorrendben a 75. maximális hézag, és az 1425172824437699411 prímszám után következik.Maximal Prime Gaps További maximális prímhézag-rekordok találhatók itt: .
Egy prímhézag jóságán (merit) a gn / ln(pn) arány értendő. 1931-ben E. Westzynthius bebizonyította, hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek. Tehát,.
+ Legnagyobb ismert jóság-értékek (2016-11)Dynamic prime gap statistics Jóság gn számjegyek pn Dátum Felfedező 36,858288 10716 127 7910896513·283#/30 − 6480 2016 Dana Jacobsen 36,590183 13692 163 1037600971·383#/210 − 8776 2016 Dana Jacobsen 36,420568 26892 321 59740589·757#/210 − 14302 2016 Dana Jacobsen 35,424459 66520 816 1931·1933#/7230 − 30244 2012 Michiel Jansen 35,310308 1476 19 1425172824437699411 2009 Tomás Oliveira e Silva 34,975687 1442 18 804212830686677669 2005 Siegfried Herzog
2016. novemberi adat szerint a legnagyobb ismert jósági érték 10716 / ln(7910896513·283#/30 − 6480) ≈ 36,858288 (283# 283 primoriálisát jelöli). A végpontok 127 jegyű prímek.
A Cramér–Shanks–Granville-arány a következő szám:
Az arány legnagyobb ismert értéke 0,9206386, ami az 1693182318746371 prímszámhoz tartozik. Megoszlanak a vélemények, hogy az arány eléri-e az egyet; további rekordértékek itt találhatók: .
+ Az első 75 maximális prímhézag (n értéke nem szerepel)+ 1 – 25 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 112910 34 132711 36 955112 44 15 68313 52 19 60914 72 31 39715 86 155 92116 96 360 65317 112 370 26118 114 492 11319 118 1 349 53320 132 1 357 20121 148 2 010 73322 154 4 652 35323 180 17 051 70724 210 20 831 32325 220 47 326 693+ 26 – 50 # gn pn26 222 122 164 74727 234 189 695 65928 248 191 912 78329 250 387 096 13330 282 436 273 00931 288 1 294 268 49132 292 1 453 168 14133 320 2 300 942 54934 336 3 842 610 77335 354 4 302 407 35936 382 10 726 904 65937 384 20 678 048 29738 394 22 367 084 95939 456 25 056 082 08740 464 42 652 618 34341 468 127 976 334 67142 474 182 226 896 23943 486 241 160 624 14344 490 297 501 075 79945 500 303 371 455 24146 514 304 599 508 53747 516 416 608 695 82148 532 461 690 510 01149 534 614 487 453 52350 540 738 832 927 927+ 51 – 75 # gn pn51 582 1 346 294 310 74952 588 1 408 695 493 60953 602 1 968 188 556 46154 652 2 614 941 710 59955 674 7 177 162 611 71356 716 13 829 048 559 70157 766 19 581 334 192 42358 778 42 842 283 925 35159 804 90 874 329 411 49360 806 171 231 342 420 52161 906 218 209 405 436 54362 916 1 189 459 969 825 48363 924 1 686 994 940 955 803641132 1 693 182 318 746 371651184 43 841 547 845 541 059661198 55 350 776 431 903 243671220 80 873 624 627 234 849681224 203 986 478 517 455 989691248 218 034 721 194 214 273701272 305 405 826 521 087 869711328 352 521 223 451 364 323721356 401 429 925 999 153 707731370 418 032 645 936 712 127741442 804 212 830 686 677 669751476 1 425 172 824 437 699 411
További eredmények
Felső korlátok Az 1852-ben bizonyított Bertrand-posztulátum kimondja, hogy k és 2k között mindig létezik prímszám, így tehát pn+1 < 2pn, amiből következik, hogy gn < pn.
Az 1896-ban bizonyított prímszámtétel szerint egy p prímszám és a rákövetkező prímszám közötti hézag átlagos nagysága ln(p). Egy konkrét hézag tényleges mérete persze ennél jóval nagyobb vagy kisebb is lehet. A prímszámtételből azonban következik egy felső korlát is: minden ε > 0-hoz létezik N szám, amire gn < εpn minden n > N esetben.
Kikövetkeztethető, hogy a prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek, tetszőlegesen kicsik: a hányados nullához tart:
Hoheisel (1930) mutatta meg elsőként, hogy létezik egy θ < 1 konstans, amire
így tehát:
elegendően nagy n-ekre.
Hoheisel a θ értékét 32999/33000-ra tette. Ezt Heilbronn 249/250-re javította, majd Chudakov θ = 3/4 + ε-re, bármilyen ε > 0-ra.
Ingham nevéhez fűződik egy nagyobb előrelépés, aki megmutatta, hogy ha
valamely pozitív c konstansra, ahol az O az O jelölésre utal, akkor
bármely θ > (1 + 4c)/(2 + 4c)-re. Itt a szokásos módon ζ a Riemann-féle zéta-függvény, π pedig a prímszámláló függvény. Tudva, hogy bármely c > 1/6 elfogadható, megállapítható, hogy θ bármely ⅝-nál nagyobb szám lehet.
Ingham eredményének közvetlen következménye, hogy n3 és (n + 1)3 között mindig van prímszám, ha n elegendően nagy. A Lindelöf-sejtés implikálná, hogy Ingham képlete bármilyen pozitív c számra igaz, de még ez sem lenne elég annak igazolására, hogy elegendően nagy n-re mindig van prímszám n2 és (n + 1)2 között (lásd Legendre-sejtés). Ennek igazolására erősebb eredményre, például a Cramér-sejtésre volna szükség.
Huxley 1972-ben megmutatta, hogy θ választható például θ = 7/12 = 0,58(3)-ra is.
Baker, Harman és Pintz 2001-es eredménye szerint θ levihető akár 0,525-ig.
2005-ben Daniel Goldston, Pintz János és Cem Yıldırım bebizonyították, hogy ,
majd két évvel később a következőre javították az eredményt:
2013-ban Yitang Zhang igazolta, hogy
ami azt jelenti, hogy végtelen sok 70 milliónál nem nagyobb prímhézag létezik. A Polymath Project keretében végzett együttműködés keretében sikerült Zhang korlátját optimalizálni, 2013. július 20-ára egészen 4680-ig vitték le. 2013 novemberében, James Maynard bemutatta a GPY-szita egy új finomítását, amivel a korlátot 600-ig vitte le, továbbá megmutatta, hogy bármely m-re létezik m prímszámot tartalmazó korlátos intervallum:
Maynard gondolatait továbbfejlesztve a Polymath project azóta feljavította a korlátot 246-ra. Továbbá, feltételezve az Elliott–Halberstam-sejtés és annak általánosított formájának igazságát, a Polymath project wiki állítása szerint N-et 12-re, illetve 6-ra sikerült lecsökkenteni.
Alsó korlátok 1938-ban Robert Rankin bebizonyította, hogy létezik olyan c > 0 konstans, amire a
egyenlőtlenség végtelen sok n értékre igaz lesz, továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius és Erdős Pál eredményeit. Később megmutatta, hogy bármely c < eγ konstans jó lehet, ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó. A c konstans értékét 1997-ben javították bármely 2eγ-nál kisebb értékre.
Erdős Pál dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért, hogy a fenti egyenlőtlenség c konstansát bármilyen nagyra lehet választani.Erdős, Some of my favourite unsolved problems Ezt 2014-ben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek, és tőlük függetlenül James Maynardnak.
Az eredményt Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao tovább javította a következőre:
n végtelen sok értékére.Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2015). "Long gaps between primes".
Prímhézagok láncolatára szintén sikerült alsó korlátokat megállapítani.Ford, Kevin; Maynard, James; Tao, Terence (2015-10-13). "Chains of large gaps between primes".
Prímhézagokkal kapcsolatos sejtések thumb|350px|Prímhézagfüggvény Még jobb eredmények érhetők el, ha a Riemann-sejtést igaznak feltételezzük. Harald Cramér igazolta, hogy a Riemann-sejtésből következik, hogy a gn prímhézagra teljesül, hogy
a nagy O jelölést használva. Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek. A Cramér-sejtés durván azt fogalmazza meg, hogy
A Firoozbakht-sejtés kimondja, hogy (ahol az n-edik prím) n szerint szigorúan csökkenő függvény, tehát
Ha ez a sejtés igaz, akkor a függvény teljesíti a . Következne belőle a Cramér-sejtés egy erős formája, de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal, .. melyek szerint végtelen sokszor bármely -ra, ahol az Euler–Mascheroni-állandót jelöli.
Oppermann sejtése gyengébb, mint a Cramér-sejtés. Az Oppermann-sejtéssel becsült prímhézag mérete nagyságrendileg:
Ha ez igaz, akkor létezik egy m>0 (valószínűleg m=30) természetes szám, amire minden n>m-re teljesül, hogy
Az Andrica-sejtés, ami Oppermann sejtésének gyengébb változata, kimondja, hogyGuy (2004) §A8
Ez enyhén erősebb a Legendre-sejtésnél, ami szerint az egymást követő négyzetszámok között mindig található prímszám.
Számelméleti függvényként Az n-edik és (n + 1)-edik prímszámok közötti gn prímhézag a számelméleti függvények egy példája. Ebben a kontextusban szokásosan dn-nel jelölik (magyar kontextusban ez a jelölés általában az osztószám-függvényt illeti), neve pedig prímkülönbség-függvény (prime difference function). A függvény se nem multiplikatív, se nem additív.
Kapcsolódó szócikkek Bonse-egyenlőtlenség Ikerprím
Fordítás
Jegyzetek
Irodalom
További információk Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results. Chris Caldwell, Gaps Between Primes; an elementary introduction www.primegaps.com A study of the gaps between consecutive prime numbers Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.
Kategória:Számelméleti függvények