bélyegkép|350px|Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.
A tétel állítása Ha f folytonos függvény a zárt intervallumon és differenciálható a nyílt intervallumon, akkor van olyan szám, amire
teljesül.
Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.
Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.
Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.
Bizonyítás A tételt visszavezetjük annak egy speciális esetére, a Rolle-tételre. Az függvény segítségével értelmezzük a függvény a
formulával.
Az f függvény folytonossága miatt a g függvény folytonos az intervallumon, az intervallum pontjaiban pedig differenciálható és
teljesül minden esetén.
Továbbá
Alkalmazhatjuk tehát a függvényre Rolle tételét. Ekkor azt kapjuk, hogy van olyan c pont az intervallumban amelyre teljesül. Ez azonban azt jelenti, hogy
Általánosítás A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.
A tétel magasabb dimenziókban Legyen az szakaszon differenciálható függvény (esetén az szakaszon az pontokat értjük). Ekkor van olyan , amelyre
teljesül.
Bizonyítás Legyen egy függvény. Mivel differenciálható a intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz , hogy
g definícióját beírva:
jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.
Kategória:Differenciálszámítás Kategória:Matematikai tételek