A matematikában a Riemann-féle kszi függvény a Riemann-féle zéta-függvény egy változata, és egyszerű függvényegyenlettel definiálható. Bernhard Riemann után nevezték el.

Definíciója Riemann a ξ betűt használta, ezt Landau változtatta nagybetűsre (Ξ). Landua ξ-függvényének definíciója:Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.

ahol . Ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvényt jelöli, és Γ(s) a gammafüggvény. A függvényegyenlet, avagy tükrözési képlet:

A nagybetűs Ξ függvényt Landau úgy definiálta, mint:Landau (loc. cit., §71)

és ez a fenti függvényegyenletnek is eleget tesz:

Landau szerint (loc. cit., p. 894) ez a Riemann által ξ-nek nevezett függvény. Mindkét függvény valós számokhoz valós értékeket rendelnek. A Riemann-sejtés ekvivalens azzal, hogy Ξ minden nullhelye valós. A zavaros jelölés oka Riemann egy nyilvánvaló hibája, aminek azonban nincs semmi következménye a cikken belül.Edwards (2001), Fußnote §1.16 (S. 31)

Értékek Páros egészekre az általános képlet:

ahol Bn az n-edik Bernoulli-szám. Például:

További speciális értékek:

(Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, )

Sorfejtés A -függvény sorfejtése

ahol

ahol a ρ indexek a zéta-függvény nem triviális nullhelyei, szerint növekvő sorrendben.

Ennek a sorfejtésnek fontos szerep jut a Li-kritériumban, ami azt állítja, hogy a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy λn > 0 minden pozitív n esetén. Hadamard-szorzat Egy egyszerű végtelen szorzat alakban adott kifejtés

ahol ρ a ξ gyökeit futja be.

A konvergencia biztosítása érdekében a nullhelyeket párokba kell állítani, ahol a párok tagjai ρ és 1−ρ. Kapcsolat a Riemann–Siegel-féle Z-függvénnyel A Riemann–Siegel-féle Z-függvény kifejezhető a Riemann-féle kszi függvénnyel:Titchmarsh (1986) §4.17 (S. 89)

Aszimptotikus viselkedés Valós s értékekreTitchmarsh (1986) §2.12 (S. 29)

továbbá

ahol a Landau-szimbólum. Ennek megfelelően t valós értékeireTitchmarsh (1986) §5.1 (S. 96) & §10.2 (S. 257)

Li-együtthatók

A kszi-függvény kapcsolódik a Li-együtthatókhoz:

mivel teljesülnek a következők:Lagarias (2004)

és

A Li-kritérium a tulajdonság minden pozitív esetén.. Ez ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

Források

Jegyzetek

Fordítás

Kategória:Analitikus számelmélet Kategória:Számelméleti függvények Kategória:Analitikus függvények