A mértéktér egy olyan matematikai fogalom, melynek segítségével a méréseket lehet értelmezni matematikai szigorúsággal. A mögöttes motiváció tulajdonképpen az integrál problémáit tartalmazza, így a két fogalom fejlődése kéz a kézben haladt. Bár a nevük hasonló, de a mértékterek és a metrikus terek között elvi különbség van, jelesül, hogy a metrika az alaphalmaz elempárjait, a mérték pedig a részhalmazait jellemzi.
Definíció
Mértéktérnek nevezünk egy hármast, ha halmaz, egy σ-algebrája és egy mérték felette. Ekkor -t az halmaz mértékének nevezzük. Ezzel kapcsolatban lehet a mértékterek néhány jellemzőjét is megadni:
Ha véges, akkor a mértékteret végesnek nevezzük. σ-véges, ha létezik olyan -beli halmazrendszer, aminek minden eleme véges és egyesítése . Ha σ-véges, akkor a mértékteret is σ-végesnek nevezzük. A mértéktér teljes, ha minden 0 mértékű halmaz minden részhalmaza mérhető.
A mértékterek fogalmát lehet általánosítani, ha a mértéket egy σ-additív, normált térbe ható vektorfüggvénnyel helyettesítjük. Ekkor a négyest vektormértéktérnek nevezzük.
Példák
A valós számok tetszőleges intervalluma a rész-intervallumaiból álló σ-algebrával ellátva a Lebesgue-mértékkel. Események egy halmaza a hozzátartozó eseményalgebrával és a valószínűségi mértékkel ( és ).
Jegyzetek
Források
Kategória:Mértékelmélet