bélyegkép|440x440px|Egy adott függvényen való hibaterjedés két változó esetén. A származtatott mennyiség szórását alapvetően befolyásolja az függvény deriváltja a változó középértéke helyén. A lineáris közelítés akkor jogos, ha a (sárga) és a deriváltja (zöld szaggatott) nem térnek el egymástól számottevően a változó átlaga körüli környezeten belül A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.
Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az átfolyó áramot, és annak bizonytalanságát, továbbá az első feszültséget, és annak bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például alakú összefüggés esetén hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.
A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg: A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását. A származtatott mennyiség kifejezését megadó összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.
Számolási módja
Lineáris kombináció esetén A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely változók lineáris kombinációjaként áll elő együtthatókkal, ahol , azaz:
, illetve mátrixjelöléssel:
Legyen a kovarianciamátrix az alábbi jelölésekkel, ahol :
.
Az függvény kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:
, illetve mátrixjelöléssel: .
A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:
, ahol az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.
Skalárértékű függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:
, ,
ahol a sorvektor. A kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő Pearson-féle korrelációs együtthatóval: , melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:
,
mely független változók esetén:
Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható
.
Nemlineáris összefüggéseknél Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:
,
ahol az függvény szerinti parciális deriváltjának átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:
ahol a Jacobi-mátrix. Mivel konstans, ezért nem járul hozzá hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett értékei lépnek, így:Ochoa1,Benjamin; Belongie, Serge "Covariance Propagation for Guided Matching"
Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az -k kovarianciamátrixának transzformációja.
Gauss-hibaterjedési formula A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris hibájának becslésére, hogy változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:
ahol az szórása, pedig az szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az szórások nem olyan nagyok, hogy az lineáris közelítése egy sugarú környezetében nem tér el számottevően -től.
Gyakori példák Az alábbi táblázat a relatív szórásokkal és kovarianciával jellemzett valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.
Összefüggés Szórásnégyzet Szórás
Ha az változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla () akkor alapján a kovarianciájuk is nulla: .
Függetlenségnél és az összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:
,
melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:
Jegyzetek
Fordítás
Források
Szakkönyvek
Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok
Kapcsolódó szócikkek Mérési hiba Kovariancia
Kategória:Statisztika Kategória:Numerikus analízis