A matematikában a Riemann–Siegel-féle théta-függvény definíciója:
ahol a teljes gamma-függvény, és t valós. A konstansok választása miatt a függvény folytonos, és , a log gamma főágának definíciójához hasonlóan.
Aszimptotikus kifejtése
ami nem konvergens, de az első néhány tag jó közelítést ad -re. Taylor-sora a 0 körül esetben konvergens, és
ahol a rendű poligamma-függvény.
A Riemann–Siegel-féle théta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény tanulmányozásában érdekes, mert úgy transzformálja, hogy annak kritikus egyenese a valós tengelyre kerüljön. Lásd: Riemann–Siegel-féle Z-függvény. Diszkusszió A Riemann–Siegel-féle théta-függvény páratlan valós analitikus függvény valós t esetén. A nullát háromszor veszi fel, ezek a helyek 0 és A |t| > 6,29 helyeken növekvő, mivel a helyeken pontosan egy helyi minimuma illetve maximuma van, aminek abszolútértéke . A t = 0 helyen inflexiós pontja van, és itt a függvény deriváltjának minimuma. Komplex kiterjesztés A log Gamma függvény végtelen kifejtése
ahol γ az Euler–Mascheroni konstans. A z változóba helyettesítve -t és tagonként képzetes részt véve 'θ(t)
A -1 és 1 képzetes részű sávon az árkusz tangens függvény holomorf, és könnyen belátható, hogy a sor egyenletesen konvergens a -1/2 és 1/2 közötti képzetes részű sáv által tartalmazott kompakt részhalmazokon. Ebből következik, hogy a Z-függvény is holomorf ezen a kritikus sávon.
Az
azonosságokkal a fenti képlet zárt alakra hozható:
Ezzel a függvény kiterjeszthető. Mivel a log Gamma nem értelmezhető holomorf a teljes komplex síkon, ez a függvény sem fog mindenhová kiterjedni. A log Gamma főágát alapul véve θ(t) örökli a sík felvágását a képzetes tengely mentén a i/2-nél nagyobb és a -i/2-nél kisebb képzetes részű tisztán képzetes komplex számokra.
+ A Riemann–Siegel-féle théta-függvény a komplex síkon
Gram-pontok A Riemann-féle zéta-függvény a kritikus egyenes mentén
Ha valós, akkor a függvény értékei is valósak. Az ilyen pozitív értékeket Gram-pontoknak nevezik Jørgen Pedersen Gram nyomán, és úgy írhatók le, hogy a hányados egész. Tehát a Gram-pontok az megoldásai.
A legkisebb Gram-pontok: -3 0 0 -2 3,4362182261... -π -1 9,6669080561... -π 0 17,8455995405... 0 1 23,1702827012... π 2 27,6701822178... 2π 3 31,7179799547... 3π 4 35,4671842971... 4π 5 38,9992099640... 5π 6 42,3635503920... 6π 7 45,5930289815... 7π 8 48,7107766217... 8π 9 51,7338428133... 9π 10 54,6752374468... 10π 11 57,5451651795... 11π 12 60,3518119691... 12π 13 63,1018679824... 13π 14 65,8008876380... 14π 15 68,4535449175... 15π
Az n index választása egy kissé furcsa. Eredetileg úgy határozták meg, hogy az index ott nulla, ahol a megfelelő pont nagyobb, mint a legkisebb pozitív nullhely a kritikus egyenes mentén. Megjegyezzük, hogy ez a -függvény oszcillál a kis abszolútértékű valós helyek körül, ezért nem invertálható a [-24,24] szakaszon. Ezért és páratlansága folytán a théta-függvénynek van egy szimmetrikus Gram-pontja a 0 helyen és -3 indexszel.
A Gram-pontok hasznosak a nullhelyek kiszámításában. A Gram-pontban
és ha ez két egymást követő Gram-pontban is pozitív, akkor a kettő között van gyök.
A Gram-törvény miatt a gyökök valós része pozitív, míg a képzetes rész előjele szabályos szakaszonként változik.
A gyökök száma a 0-tól T-ig terjedő szakaszon , és meghatározható, mint
ahol az hibatag aszimptotikusan úgy nő, mint . Ha bebizonyosodna, hogy engedelmeskedik a Gram-törvénynek, akkor a gyökök száma a kritikus sávban egyszerűen
Ma már tudjuk, hogy nagyobb távolságra nem igaz a Gram-törvénynek az a kitétele, hogy egy Gram-szakaszban pontosan egy gyök található. Az első eltérés a 126. Gram-pont után van, amit a 127. gyök követ. Ezt maga Gram is csak kis indexekre állította. Később Hutchinson Gram-törvényként azt az állítást emlegette, hogy a gyököket Gram-pontok választják el. Források
Gabcke, W. (1979), Neue Herleitung und explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel''. Thesis, University of Göttingen. Revised version (eDiss Göttingen 2015)
Fordítás
Kategória:Számelméleti függvények