A komplex analízisben Weierstrass faktorizációs tétele azt jelenti, hogy komplex számok minden előre megadott megszámlálható halmazához van holomorf függvény, aminek pontosan ezek a nullhelyei. Egy ilyen függvény megadható Weierstrass-szorzatként.
Motiváció A nullhelyek véges halmazához megadható egy polinom, aminek ezek a gyökei. Ha ezek , akkor a polinom . Megszámlálható végtelen esetben a megfelelő szorzat nem konvergál, de a konvergencia biztosítható. Erről az
azonosság alapján tényezőket vezet be, amelyek alakja . Az egyetlen nullhelye -nél van, azonban az -vel szemben az egységkör minden kompakt halmazán tetszőlegesen közel kerül -hez, ha elég nagy. Ezzel elérhető a végtelen szorzat konvergenciája. Weierstrass-szorzat Legyen pozitív szorzó az tartományban, és egy sorozat, amit úgy választunk, hogy . Ez azt jelenti, hogy a sorozat végighalad tartóin a nullpontok kivételével a szükséges multiplicitással. Ez a divizorhoz tartozó sorozat.
Egy a divizor Weierstrass-szorzata, ha: holomorf -ban -nak pontosan egy egy multiplicitású nullhelye van -ban normálisan konvergál minden kompakt részhalmazán. Szorzattétel -ben
Minden pozitív divizorhoz vannak -ben Weierstrass-szorzatok, és alakjuk . Ahol a divizorhoz tartozó sorozat.
Következmények -ben Minden divizorhoz van meromorf függvény előre megadott null- és pólushelyekhez. Minden divizor fődivizor. Ha meromorf függvény, akkor vannak hozzá holomrf függvények, amelyeknek nincs közös nullhelyük úgy, hogy . A meromorf függvények alkotják a holomorf függvények integritási tartományának hányadostestét. A holomorf függvények gyűrűjében minden gyűrűjében minden nemüres részhalmaznak van legnagyobb közös osztója, habár ez a gyűrű nem faktorizációs gyűrű. Tetszőleges tartományban Legyen tartomány, pozitív divizor tartományban, aminek a tartója, és jelölje torlódási pontjainak halmazát -ben. Ekkor a divizorhoz vannak Weierstrass-szorzatok -ben. Általában az tartománynál nagyobb területen konvergálnak. Stein-sokaságban 1895-ben Pierre Cousin tovább általánosította Weierstrass faktorizációs tételét, és bizonyította is cilindertartományaira. Arra azonban nem tudott megoldást találni, hogy konstruálható-e meromorf függvény egy adott divizorhoz. EZ volt a Cousin-probléma.
A problémát Jean-Pierre Serre oldotta meg 1953-ban: Ha Stein-sokaság, akkor egy divizor pontosan egy meromorf függvény divizora, hogyha Chern-kohomológiaosztálya eltűnik -ben. Ekkor mivel Stein-sokaság és , minden divizor fődivizor. Ekkor ugyanis a következő sorozat egzakt:
ahol a divizorok nyalábja. Források Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, . Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, . Fordítás
Kategória:Komplex analízis