A matematika, azon belül a geometria területén a kétfül-tétel vagy „két fül”-tétel (two ears theorem) azt mondja ki, hogy bármely, háromnál több csúccsal rendelkező egyszerű sokszög legalább két füllel, azaz a sokszögből új metszéspont bevezetése nélkül el nem távolítható csúccsal rendelkezik. A kétfül-tétel ekvivalens a sokszög háromszögekre bontása létezésével. A tételt gyakran Gary H. Meistersnek tulajdonítják, de Max Dehn már korábban bizonyította.
A tétel állítása A definíció szerint egy sokszög füle olyan csúcs, melynek szomszédos csúcsai közé húzott egyenes szakasz teljesen a sokszög belsejében található. A kétfül-tétel kimondja, hogy az egyszerű sokszögeknek legalább két fülük van.
Háromszögelésekből származó fülek Egy fül és a két szomszédos csúcs a sokszögön belül háromszöget alkot, amit nem metsz a sokszög egyetlen másik része sem. Egy ilyen háromszög eltávolításával az eredményül kapott sokszög kevesebb oldalú lesz az eredetinél, a műveletet újra és újra megismételve pedig megkapjuk az egyszerű sokszög háromszögelését.
Megfordítva, egy sokszög háromszögelésekor a háromszögelés gyenge duálisa (olyan gráf, melynek minden csúcsa az eredeti egy háromszögének felel meg, az él pedig a szomszédos háromszögeknek) olyan fa lesz, melynek minden levele egy-egy fül. Mivel minden egynél több csúcsú fának legalább két levele van, minden egynél több háromszögből álló háromszögelt sokszögnek is van legalább két füle. Tehát a kétfül-tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy minden egyszerű sokszögnek van háromszögelése..
Kapcsolódó csúcstípusok Egy fül „külső” (exposed), ha a sokszög konvex burkának egy csúcsát alkotja. Egy sokszögnek nem feltétlenül van külső füle..
A fülek a „főcsúcsok” (principal vertex) speciális esetei; ezekre az jellemző, hogy a szomszédait összekötő egyenes szakasz nem metszi a sokszöget, illetve nem érinti egyetlen más csúcsát sem. Az olyan főcsúcsot, melynek szomszédait összekötő egyenes szakasz a sokszögen kívül fekszik, „szájnak” (mouth) nevezzük. A kétfül-tétel analógiájára minden nem konvex egyszerű sokszögben legalább egy száj van. A mindkét fajta főcsúcsból minimális számúval rendelkező sokszögeket, tehát melyeknek két fülük és egy szájuk van, antropomorf sokszögeknek nevezik..
Története és bizonyítás A kétfül-tételt gyakran Gary J. Meistersnek tulajdonítják, akinek 1975-ös cikkéből származik a „fül” elnevezés.. A tételt azonban még 1899 körül bizonyította Max Dehn a Jordan-féle görbetétel bizonyításának részeként. Dehn a bizonyítás során észrevételezi, hogy minden sokszögnek van legalább három konvex csúcsa. Ha az egyik ilyen csúcs nem fül, akkor a és két szomszédja által alkotott háromszögön belül átló köti össze egy másik csúccsal; ez az megválasztható úgy, hogy a háromszögön belül az szakasztól legmesszebbi csúcs legyen. Ekkor az átló a sokszöget két kisebb sokszögre bontja; a fülekre és átlókra bontás műveletének ismétlésével végül a teljes sokszög háromszögelését kapjuk, melyben a duális fa leveleként találhatjuk meg a fület..
Fordítás
Jegyzetek
További információk Meisters' Two Ears Theorem, Cut-the-Knot The Two-Ears Theorem, Godfried Toussaint
Kategória:Sokszögek Kategória:Geometriai tételek