A Dedekind-gyűrűk a racionális egészek gyűrűjének általánosításaként foghatók fel, elsősorban az algebrai számelméletben és a kommutatív algebrában bírnak jelentős szereppel. Richard Dedekind német matematikusról vannak elnevezve.
Definíciók Egy integritási tartományt Dedekind-gyűrűnek nevezünk, ha teljesül rá a következő ekvivalens feltételek bármelyike: Bármely ideál invertálható. Bármely törtideál invertálható. Noether-gyűrű és bármely prímideálra az lokalizált test vagy diszkrét értékelésgyűrű. test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és egészre zárt. test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és reguláris. bármely ideálja egyértelműen felírható prímideálok szorzataként.
Példák és ellenpéldák Minden főideálgyűrű, speciálisan minden diszkrét értékelésgyűrű Dedekind. Ha egy számtest, akkor a -beli algebrai egészek gyűrűje Dedekind. Dedekind-gyűrű lokalizáltja is Dedekind. Nem Dedekind-gyűrűk a következő integritási tartományok: (nem egydimenziós) (nem egészre zárt)
Tulajdonságok Ha Dedekind-gyűrű, ideál, akkor főideálgyűrű. Egy Dedekind-gyűrű bármely ideálja generálható legfeljebb két elemmel. Következésképpen minden Dedekind-gyűrű Noether-tulajdonságú.
Források
Fordítás
Kategória:Gyűrűelmélet Kategória:Kommutatív algebra Kategória:Algebrai számelmélet