Egy maximális ideál az algebrában, azon belül a gyűrűelméletben egy olyan ideál, ami a valódi ideálok között tartalmazásra nézve maximális.
Definíciók Legyen egy gyűrű és egy valódi ideál. Ekkor maximális kétoldali ideál, ha a következő ekvivalens tulajdonságok teljesülnek: Nem létezik olyan valódi ideál, hogy . Minden ideálra -ből következik, hogy vagy . Az faktorgyűrű egyszerű.
Analóg módon definiálhatók a egyoldali maximális ideálok is; a következőkben csak a jobboldali definíciók szerepelnek. Legyen egy jobbideál. Ekkor jobboldali maximális ideál, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek: Nem létezik olyan valódi jobbideál, hogy . Minden jobbideálra -ből következik, hogy vagy . Az faktormodulus egyszerű.
Az egy- illetve kétoldali maximális ideálok fogalma a minimális ideálok fogalmának duálisa.
Példák Testekben az egyetlen maximális ideál . A polinomgyűrű maximális ideáljai az elemek által generált főideálok, ahol . A racionális egész számok gyűrűjében a maximális ideálok a prímszámok által generált főideálok. Általánosabban egy főidálgyűrű maximális ideáljai a nemnulla prímideálok. Egy algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljai az alakú ideálok (ez az úgynevezett gyenge Nullstellensatz).
Tulajdonságok Ha egységelemes kommutatív gyűrű és ideál, akkor akkor és csak akkor test, ha maximális ideál. Ilyenkor -t az maximális ideál maradéktestének nevezzük. Az állítás nem-egységelemes gyűrűkben nem igaz: maximális ideál, de nem test. Krull tétele: minden nemzéró egységelemes gyűrűben van maximális ideál. Az állítás igaz egyoldali ideálokra is. Kommutatív egységelemes gyűrűkben minden maximális ideál prímideál; a megfordítás általában nem igaz.
Fordítás
Kategória:Ideálok