A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy irányítatlan gráf lineáris arboricitása (linear arboricity) azon lineáris erdők minimális száma, melyekbe a gráf élei felbonthatók. Itt a lineáris erdő alatt olyan körmentes gráf értendő, melynek maximális fokszáma kettő, tehát útgráfok diszjunkt uniójaként áll elő.
Egy maximális fokszámú gráf lineáris arboricitása legalább , hiszen egy maximális fokszámú csúcs élei közül minden lineáris erdő kettőt használhat fel. lineáris arboricitási sejtése (vagy Akijama-sejtés) szerint ez az alsó korlát éles, és minden gráf lineáris arboricitása legfeljebb .. Ezt azonban egyelőre nem sikerült bizonyítani, az ismert legjobb érvényes felső korlát ennél nagyobb: ..
Egy reguláris gráfban a lineáris arboricitás nem lehet egyenlő -vel, mivel minden útra igaz, hogy a lineáris erdők valamelyikében nem lenne két szomszédos éle, amit abban az erdőben felhasználtunk. Ezért reguláris gráfokban a lineáris arboricitási sejtés szerint a lineáris arboricitás értéke pontosan .
A lineáris arboricitás az arboricitás egy változata – az arboricitás alatt az erdők minimális számát értjük, amire a gráf élei felbonthatók. Vizsgálták a lineáris arboricitás azon változatát, ahol a lineáris erdő egy-egy útja legfeljebb éllel rendelkezhet, ez a lineáris -arboricitás.
A polinom időben meghatározható arboricitástól eltérően a lineáris arboricitás kiszámítása NP-nehéz. Még a kettő lineáris arboricitású gráfok felismerése is NP-teljes.. 3-reguláris gráfok és egyéb 3 maximális fokszámú gráfok lineáris arboricitása mindig kettő, és a két lineáris erdőre való felbontás mélységi keresési algoritmussal lineáris időben elvégezhető..
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Gráfinvariánsok