A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az valószínűségi tér, és mértékterek, ekkor az
és
valószínűségi változók függetlenek, ha minden és esetén . A definíció több változóra is kiterjeszthető.
A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.
Jelölések, alternatív definíció A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz helyett inkább az kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:
minden halmazra.
Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor
.
Azaz ha valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden halmazra és független események, tehát
Példa Legyen eseménytér, ahol mint alaphalmaz, σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá és . Állítjuk, hogy az
. valószínűségi változók függetlenek.
Mindkét σ-algebrának négy eleme van: , emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben vagy kombinálódik a következőkkel. Legyen . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel : Legyen . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel . Legyen és . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel . Legyen és . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel .
Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.
Általános eset Valószínűségi változók egy családja, ahol tetszőleges indexhalmazzal független, ha teljesül indexek minden részhalmazára, hogy
minden esetén.
Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek. Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek értékűek) is alkalmazható. Nincsenek további követelmények a komponensekre.
Kritériumok Generátorrendszerek A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van metszetstabil generátor, akkor , tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:
minden halmazra és minden véges részhalmazára -nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok. Véges családok Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz , akkor elegendő, hogy
minden halmatra. Le lehet mondani a részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy . A eset automatikusan következik a fentiből, ha -t helyettesítünk, ekkor így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz. Diszkrét valószínűségi változók véges családjai A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen és legyenek az valószínűségi változók -beliek, és diszkrétek szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha
minden esetén.
Valós valószínűségi változók diszkrét családjai Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az valószínűségi változók függetlenek, ha
minden esetén. Ha az függvények az valószínűségi változók eloszlásfüggvényei, akkor a közös eloszlásfüggvény, akkor az valószínűségi változók függetlenek, ha
teljesül. Ha az valószínűségi változóknak van közös sűrűségfüggvénye, akkor éppen akkor függetlenek, ha
.
Ahol az szerinti peremsűrűség.
Létezés Véletlen valószínűségi változók véges családjai számára adódik a kérdés, hogy van-e egy elég nagy valószínűségi tér, amiben a teljes család független erre a térre. Nem nyilvánvaló, hogy ez lehetséges; alternatívája lenne, hogy ha elég sokan vannak, akkor σ-algebráik mindig összefüggnek.
A kérdés a szorzatmértékek segítségével igenlően megválaszolható. A
szorzatmodellt tekintve az i-edik komponens , azaz éppen az i indexű vetület. Így a szorzatmodell és a szorzatmérték definíciója miatt a család független, és a vetületek eloszlása megegyezik eloszlásával a eseménytéren. A szorzatmodell elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza független valószínűségi változók egy családját. A végtelen sok független valószínűségi változó létezését végtelen szorzatmérték létezésére vezettük vissza, ami nem magától értetődő. Ez belátható tetszőleges indexhalmazra például az Andersen-Jessen-tétellel, megszámlálható esetre alkalmazhsató az Ionescu-Tulcea-tétel, Borel-terekre Kolmogorov kiterjesztési tétele.
Korrelálatlanság és függetlenség Ha valószínűségi változók, akkor korrelálatlan, ha kovarinaciájuk nulla.
függetlenségéből következik korrelálatlanságuk. Ugyanis függetlenség esetén a várható értékekre teljesül, hogy ; így .
Az első egyenlőség a kovariancia eltolástételéből, a második a függetlenségből és a várható értékekre vonatkozó fenti egyenlőségből következik.
Megfordítva azonban a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Legyen az valószínűségi változó egyenletes eloszlású az intervallumon, és . Ekkor ,
tehát a valószínűségi változók korrelálatlanok. De nem függetlenek, hiszen például
és .
A függés adódik abból, hogy .
Analízis függetlenségre A függetlenségi analízis a korrelációt vizsgálja, ha ez nem nulla, akkor a függetlenségről szóló hipotézis elvehető. Másrészt azonban ez még nem jelent biztos függetlenséget, mert ez csak a lineáris kapcsolatot mutatja ki. Viszont például, ha a közös eloszlás normális, akkor a függetlenség igazolva van. Végezhetők további tesztek is.
Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége A feltételes várható értékre hagyatkozva definiálható valószínűségi változó és halmazrendszer függetlensége is. Legyen valószínűségi változó, és halmazrendszer. Függetlenek, ha és az által generált σ-algebra független.
Általánosítások Hasonlóan definiálható a feltételes várható érték felhasználásával halmazrendszerek és valószínűségi változók feltételes függetlensége.
Jegyzetek
Források
A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ().
Kategória:Valószínűségszámítás Kategória:Statisztika