A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra. Definíció Adva legyenek az leképezések, és mértékterek egy családja egy nemüres indexhalmazzal. Ekkor az
σ-algebra -n az leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az által generált σ-algebra. Példák Legyen leképezés, ahol mértéktér, ekkor σ-algebra, és . Ha például konstans függvény, akkor az triviális σ-algebra. Az részhalmaz indikátorfüggvénye esetén . és mértéktér, ahol a természetes beágyazás, akkor a kezdeti σ-algebra éppen a nyom σ-Algebra: . az halmazok Descartes-szorzata egy nemüres indexhalmazzal és mértéktér. Legyenek az leképezések vetületek az -edik komponensre, ekkor a vetületek kezdeti σ-algebrája éppen a szorzat σ-algebrája : .
Tulajdonságok A kezdeti σ-algebra definíció szerint a legkisebb σ-algebra -n, amire az függvények mérhetők. Ha az halmazok generátorai, akkor az generátora. Alkalmazása Kezdeti σ-algebrákat használnak például a valószínűségszámításban a valószínűségi változók függetlenségének definiálására. Két valószínűségi változó független, ha kezdeti σ-algebráik független halmazrendszerek. Források
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás Kategória:Halmazalgebra