A fraktálok végtelenül komplex geometriai alakzatok, amelyek két gyakori, jellemző tulajdonsággal rendelkeznek. Az első, hogy a tradicionálisan a geometria által vizsgált, bizonyos értelemben véve „egyszerűbb” és „szabályosabb”, „simább” alakzatokkal ellentétben (mint pl. egy töröttvonalakkal határolt sokszög, vagy egy görbével határolt ellipszis), a fraktálok határoló vonalai vagy felületei végtelenül „gyűröttek” vagy „érdesek”, illetve „szakadásosak” (szakkifejezéssel, nem-differenciálhatóak).A gyűröttség olyan mértékű lehet, hogy a globálisan egydimenziós, görbe jellegű alakzat lokálisan többdimenziósként viselkedhet („térkitöltés”). Jellegzetes példa az ún. Koch-hópehelygörbe vagy a Mandelbrot-halmaz határoló görbéje. A szakadásosság is lehet olyan mértékű, hogy egy globálisan pl. kétdimenziós alakzat lokálisan egydimenziósként viselkedhet. Az alakzat „sűrűn” kitölt egy négyzetet, abban az értelemben, hogy a négyzettel közös pontjai semmilyen kézenfekvő egydimenziós görbére sem férnek rá, mindig marad egy ilyen görbén kívüli pont; azonban más szempontból nézve, a kitöltés annyira „ritka”, hogy a négyzet bármely kétdimenziós szeletét is vizsgálva, az alakzat azt nem „képes” hézagtalanul lefedni, tehát az alakzat sehol sem „lokálisan” kétdimenziós. Erre példa a Sierpiński-háromszög és a Cantor-halmaz. Ezek a paradox jelenségek vezettek a törtdimenziós mértékek (pl. a Hausdorff-dimenzió) fogalmának használatához. A második gyakori jellemzőjük a rendkívül problematikus, de „laikus szemmel” is jól érzékelhető önhasonlóság.
250px|jobbra|bélyegkép|A Mandelbrot-halmaz (a feketén színezett terület a képen) rajzolata egy ismert példa a fraktálokra. Matematikailag a normált, tiszta másodfokú komplex változós polinomok családjának iterációinak korlátossági halmaza, a képet szökési sebesség szerint színezték
250px|jobbra|bélyegkép|A Mandelbrot-halmazzal rokon fraktálalakzat (fekete terület). Matematikailag tiszta ötödfokú, komplex változós hatványfüggvények (polinomok) egy családjának korlátossági halmaza, a képet speciális eljárással színezték
Bevezetés
Egy sokszög, egy kör, vagy egy gömb határfelületét egyre nagyobb nagyításban szemlélve azt tapasztaljuk, hogy a határfelület – elszigetelt pontokat, pl. a sokszög csúcsait kivéve – „kisimul”, bizonyos nagyításban már megkülönböztethetetlenné válik – síkgörbénél – az egyenestől, vagy – testnél – a síktól. A fraktálokat ezzel szemben bármilyen nagy nagyításban is vizsgálva, mindig találunk „gyűrődést” vagy „szakadást”, matematikai szemszögből, olyan részeket, melyeknek nem állandó, vagy nem is létezik a differenciálhányadosa. A „hagyományos” és „szabályos” geometriai alakzatok pontjainak nagy része tehát az alakzat „sima” pontja, és csak véges sok, a pontok végtelen összességéhez képest elenyészően kevés „töréspont” vagy „csúcspont” van.
1000px|bélyegkép|középre|Wiener-folyamat (idealizált atomok hőmozgását az idő függvényében leíró leképezés), végtelenül növekvő nagyítást utánzó animációval, jellemző példája a skálafüggetlenül összetett – minden nagyításban egyformán „hepehupás” – alakzatoknak, és statisztikus értelemben önhasonlósággal bír.Dunbar, S. R.: Wiener Process (egyetemi jegyzet a Nebraska-Lincoln Egyetem Matematika Tanszékének honlapján, PDF). Ld. 3. old., „Transformations of the Wiener Process” c. fej. első bekezdése. Hiv. beill.: 2014-07-02.
A fraktálalakzatok esetében viszont pont fordítva van: éppenséggel a „töréspontok” közönségesek, legalábbis az alakzat bizonyos helyein nagyon sok található belőlük; míg a „sima” felületeket adó (differenciálható) pontok a kivételesek. Míg a pontbeli differenciálhatatlanság a „hagyományos” alakzatok esetében csak egyes elszigetelt pontok kiugró jellemzője, a fraktálok esetében éppen ezek a jellemzőek a közönségesek; melyek megadják a görbe lényegi jellegét. Benoit B. Mandelbrot, a fogalom névadójaBenoit B. Mandelbrot: Object Fractals (könyv), 1975. szavai nyomán: „a fraktálok geometriája a skálafüggetlen (akárhányszoros nagyítás után is megmaradó) egyenetlenség tudománya.Eredetiben: „Fractal geometry is the study of scale-invariant roughness”. Mandelbrot, B. B.: Gaussian Self-Affinity and Fractals ..., 9. old. Springer Science & Business Media, 2002 kiadású könyv Google könyvekbeli elektronikus változata. Hiv. beillesztése: 2014-07-01.
Ezeknek a fraktálalakzatoknak valamelyik, vagy nagyon sok kiragadott, nagyobb vagy kisebb nagyításban látható részletei ráadásul sok esetben (a matematikai szigorúságnál jóval megengedőbb értelemben) „hasonlítanak” a teljes alakzatra vagy annak más részeire (önhasonlóság).
thumb|250px|jobbra|A Cantor–Lebesgue-görbe – más néven Cantor-függvény, avagy „az ördög lépcsője” – példa matematikailag „észbontóan” viselkedő fraktálalakzatra.Egy képlettel való előállítását ld. pl. itt, 9.dia. A topológiai szempontból egydimenziós görbe, bár pusztán relatíve „hosszú” konstans részekből áll, meghatározott részein mégis „végtelenül tüskés”, bár nem annyira, hogy térkitöltő jelleggel bírjon, a görbe „tradicionális” és Hausdorff-dimenziója is 1. Ami még csak a folytonosság iránt rajongó matematikusok szépérzékét sérti, az a tulajdonsága, hogy bár elemi módon igazolhatóan minden pontban folytonos, az említett „tüskés” részek végtelen sok helyén fellelhetőek, azaz végtelen sok helyen nem-differenciálható. Ennél egy fokkal meglepőbb, hogy ezek a tüskék, bár végtelen sokan vannak (a nem-differenciálható értékek ősképei pontosan az x-tengelyre eső egydimenziós Cantor-halmaz pontjai), mégsem bírnak kitenni egy pozitív hosszúságú szakaszt, összhosszuk 0, a konstans részek összhosszúsága így 1.A lépcső konstrukciója miatt a konstans részek összhossza (a végtelenségig) (ld. mértani sor összegzése). Ez azt jelenti, hogy az „ördög lépcsőjén” fel lehet mászni az origóból egységnyi magasságba úgy, hogy a lépcső mindössze 0 összhosszúságú részen bír emelkedő jelleggel, ráadásul teljesen folytonos mozgással (tehát „ugrani” sehol sem kell). A fraktálok felfedezése előtt nehezen volt hihető, hogy egy 0 mértékű részen növekvő görbe bírhat akármilyen emelkedéssel is úgy, hogy ne legyenek rajta felfelé ugrások (szakadások) – a Cantor-görbe azonban mégsem „ugrik”, mindenütt folytonos.Ezzel kapcsolatos egy másik, némileg a Banach-Tarski-paradoxonra hasonlító érdekesség is: tekintve, hogy a görbe véges hosszúságú konstans szakaszokból áll, melyek összhosszúsága 1, a szemlélője kísértést érezhet rá, hogy a görbe hosszát 1-nek mondja, azon a szemléletes alapon, hogy minden konstans részt az y-tengellyel párhuzamosan az x-tengelyre tolva, a darabok uniója a 0 dimenziós Cantor-halmaz komplementere, azaz az unió 1-0=1 összhosszúságú. Azaz: „A) a görbe vetülete 1 hosszú, és B) a vetületet megfelelően feldarabolva, és minden darabot mérettartóan, eltolással a kellő magasságba mozgatva, azokból összeállítható a kérdéses görbe; C) Bármilyen vonal- ill. síkalakzatot akárhogy feldarabolva és a darabokat egybevágóságokkal mozgatva, amennyiben egy új alakzat keletkezik, a kapott alakzat hossza, ill. területe meg kell, hogy egyezzen az eredetivel; D) a Cantor-görbe hossza így megegyezik vetületének hosszával, ami 1. Q.E.D..” Sajnos, a C) megállapítás hibás, a Cantor-görbe rektifikálható, azaz mérhető ívhosszú ugyan, de hossza pontosan 2. A Banach-Tarski-paradoxonhoz hasonlóan, a gondolatmenetben lévő hibát az okozza, hogy a görbe végtelen sok darabra lett szétvágva, így a véges átdarabolásokra vonatkozó intuíciók tévedéshez vezethetnek.
right|thumbnail|250px|A Koch-görbe első hét közelítő lépése. A végtelen sok lépés után kapott görbe végtelen hosszú bélyegkép|250px|jobbra|L-rendszer által generált, fát utánzó 3D fraktál
A végtelenül sűrűn (akárhányszoros „mikroszkóp”-nagyításban is fellelhető) „egyenetlenség” (differenciálhatatlanság) sok kellemetlennek vagy szokatlannak is értékelhető matematikai következménnnyel jár (ld. a Cantor-Lebesque-görbéről szóló illusztrációhoz mellékelt képaláírást). A legdurvább következmény ezek közül a fraktálok másik fontos tulajdonsága: az olyan geometriai jellemzőik, mint a kerület, terület, térfogat, ívhossz, felszín, sőt: a térdimenzió, elfajult (végtelen vagy nulla) értékeket adnak, és általában is, a térszemlélettel ellentétesen, meglepő és paradox módon viselkednek. Pongyolán fogalmazva, ezek az alakzatok nehezen, az iskolás, sőt az egyetemi geometriakönyvekben is szereplő, évszázadok óta bevált matematikai módszerekkel nem mérhetőek. Innen nyerték nevüket is: a latin fractus melléknév, a frangere, „törni” ige származéka, ugyanis elsősorban töröttet, darabosat (vö. „mindenütt tüskésség” vagy „mindenütt szakadásosság”), másodsorban szabálytalant, kivételest jelent. Mandelbrot ebből a latin szóból alkotta meg a fraktál kifejezést. A fraktálok jelentőségét a matematikán belül főleg ez a szabálytalan, „kényelmetlen” jelleg adja – matematikai leírásuk új eszközöket igényel (ezek leginkább a topológia, azon belül a mértékelmélet és a metrikus terek elméletének körébe tartoznak) és olyan problémákat vet fel, melyeket ma már nem bosszantónak és riasztónak tartanak, mint egykor, hanem lebilincselőnek. Azonban a fraktálok jelentősége a matematikán kívül is óriási.
A fraktálok diadalmenetének története tele van váratlan felfedezésekkel és más tudományos szenzációkkal, valamint könnyen érthetővé tehető és jelentőségteljes problémákkal, így hálás témát jelent a népszerűsítő irodalom számára. Fraktálokat – legalábbis ami a tudományos vizsgálatukat illeti – először a XIX. század végén fedeztek fel matematikusok a valós analízis és topológia halmazelméleti megalapozására irányuló vizsgálatainak (nem kívánt) eredményeképpen, bár ekkor még nem nyertek önálló elnevezést, és évtizedekig tudatos, rendszeres vizsgálatuk sem kezdődött meg; viszont a XX. század második felében (nem várt módon) előbukkantak különféle műszaki, fizikai, kémiai, élő, s végül kozmológiai rendszerek viselkedésének matematikai leírásának vizsgálatakor is. A XX. században a dinamikai rendszerek fizikája révén – összefüggésben ennek egyik legjelentősebb felfedezésével, a determinisztikus káosz fogalmával – elindult a fraktálok diadalútja a közismertség és népszerűség felé: kiderült, hogy a fraktálok geometriája a természet és a társadalom számos, akár mindennapi, akár extrém jelenségének leírásában (itt a fizika mellett a kozmológia, a közgazdaságtan, a komputergrafika, a rákgyógyászat és még tucatnyi más kiemelt fontosságú terület is érdekelt) a kulcsot jelentheti, fogalmak és elméletek olyan gazdagságát és olyan magyarázó erőt, ami jóval meghaladja a „hagyományos” geometria teljesítőképességét.
A fraktál fogalmának nincs a tudományos (matematikai, elméleti fizikai) szakirodalomban általánosan elfogadott, szigorú definíciója: maga a definíció is kutatási területet jelent. Érdekesség, hogy Mandelbrot tudatosan kiterjesztette a fogalom jelentését a geometriai alakzatok mellett a természeti jelenségekre is. Eszerint egy matematikai értelemben véve fraktálszerűnek kinéző természeti képződményre vagy mintázatra – például egy levélerezetre vagy egy nagyváros metróvonal-hálózatára – is mondhatjuk, hogy az fraktál.
A definíció problematikája
A fraktálok matematikai definíciójáról egyelőre nincs végleges megállapodás a szakirodalomban.Szabó László Imre: Ismerkedés a fraktálok matematikájával. Polygon könyvtár, Szeged, 1997. 64. old. Több lehetséges matematikai út is kínálkozik (ezek közül két-három alapelgondolás lépte túl a vitairat-szintet), azonban egyik sem fedi le teljes egészében az összes olyan példát, amiket a különféle területeken dolgozó szakemberek is fraktálnak tartanak, de nem is zárják ki az összes olyan fogalmat, amik fraktálként való tanulmányozása nem bír érdekességgel.