bélyegkép|jobbra|200pxA Koch-görbe vagy Koch-hópehely Helge von Koch svéd matematikus által 1904-ben leírt fraktál, mely ilyen minőségében az egyik legelső.
A görbét úgy állíthatjuk elő, hogy egy szabályos háromszög oldalait elharmadoljuk, majd a középső harmadára ismét egy szabályos háromszöget rajzolunk. Ezen háromszögek oldalait szintén harmadoljuk, és háromszöget rajzolunk rájuk. Ezt a végtelenségig folytatjuk. A görbe hossza az n-edik lépés után . A határértékként kapott görbe végtelenül finoman strukturált, és csak közelítőleg lehet ábrázolni. Azok a pontok alkotják, amiket egy iterációs lépés után a további iterációs lépések megőriznek, vagy torlódási pontjai ennek a ponthalmaznak. Sokszor ennek az önmagába záródó görbének harmadát hívják Koch-görbének.
Koch-görbe Tulajdonságai Egyik tulajdonsága a skálafüggetlenség, a másik pedig különösen érdekes: végtelen lépés után a görbe hossza végtelen lesz, de sosem metszi önmagát, és véges térrészen marad: tehát véges területen végtelen hosszú lesz. Hausdorff-dimenziója . Szigorúan önhasonló, egyes részeit felnagyítva mindig ugyanaz a struktúra kerül elő. A Koch-görbe folytonos, mert a konstrukciójából adódóan van folytonos függvényeknek egy sorozata, amely egyenletesen tart hozzá. Ellenben sehol sem differenciálható, mert bármely kis szakaszán van egy töréspont, ahol a görbe 60 fokban megtörik.
A Koch-sziget területe bélyegkép|balra|Az első hat iteráció látható Jelölje s a kiindulási háromszög oldalának hosszát! Ekkor a kiindulási háromszög területe . Minden új iterációban az új kis háromszögek oldalhossza 1/3-a az előző iterációban kapott háromszögekének. Mivel a szabályos háromszögek területe négyzetesen függ az oldalhosszuktól, az új háromszögek területe egyenként 1/9-része az előző iterációban nyert háromszögek egyikének. A kis háromszögek száma minden iterációban megnégyszereződik. Mivel az első iterációban három háromszög keletkezik, az n-edik iterációban keletkező háromszögek száma . Összetéve adódik az iterációs formula:
ahol a kiindulási háromszög területe.
Határértékben, ha n tart a végtelenbe, akkor 4/9 hatványainak összegeként 4/5 adódik. Ezzel
Tehát a hópehelygörbe által körülzárt Koch-sziget területe a kiindulási háromszög területének 8/5 része, vagy az eredeti háromszög oldalhosszával kifejezve .Koch Snowflake Így a végtelenül hosszú hópehelygörbe egy véges területű síkdarabot ölel körül.
Geometriai sor határértékeként Egy lépésben az új háromszögek száma egyenlő az előző lépésben kapott oldalak számával, ami lépésenként négyszeresére nő. Ezek területe az előző háromszög területének kilencedrésze. Jelölje T a kiindulási területet:
Dr. Vágó Zsuzsanna: Matematikai Analízis I. - Egyetemi jegyzet, 4. kiadás; Pázmány Egyetem Elektronikus Kiadó
Változatai A Koch-görbéhez hasonlóan több más fraktál is készíthető:
Változat Kép Konstrukció 1D, 85°-os szög thumb|150px|Cesaro fractal A Cesaro-fraktál a Koch-görbe variánsa, ahol az elfordulási szög 60° és 90° között változtatható (itt 85°). 1D, 90°-os szög thumb|150px|Quadratic type 1 curve thumb|450px| Kvadratikus Koch-görbe. Az első két iteráció 1D, 90°-os szög thumb|150px|Quadratic type 2 curve thumb|450px| Az első két iteráció. Hausdorff-dimenziója pontosan 1,5 és így éppen félúton van 1 és 2 között; ezért gyakran rajta tanulmányozzák a tört dimenziós fraktálok fizikai tulajdonságait. 2D, háromszögek thumb|150px|von Koch surface thumb|450px| A Koch-görbe természetes módon két dimenzióra kiterjesztett változata 2D, 90°-os szög thumb|150px|Quadratic type 1 surfaceA kvadratikus görbe kiterjesztése. Az ábra a második iterációt mutatja. 2D, 90°-os szög thumb|150px|Quadratic type 2 surfaceA kvadratikus görbe kiterjesztése. Az ábra az első iterációt mutatja. 2D, gömbök thumb|150px|Haines sphereflake (large green object) Eric Haines térbeli, gömböket használó Koch-fraktálja
Jegyzetek
Források Helge von Koch: Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704. Helge von Koch: Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30 (1906) 145-174. Hópehelygörbe a MathWorldön
További információk Koch-görbére hasonló fraktálok vizsgálata
Kategória:Fraktálok Kategória:Görbék