A teljes várható érték tétele a valószínűségszámításban azt mondja ki, hogy ha várható értékű valószínűségi változó, és valószínűségi változó, akkor

azaz -ra vett feltételes várható értéke megegyezik várható értékével.

Speciálisan, ha véges, vagy legfeljebb megszámlálható partíciója a valószínűségi mezőnek, akkor

Példa Tegyük fel, hogy két gyár villanykörtéket állít elő! Az gyár termékei átlagosan 5000, az gyáréi átlagosan 4000 órán át működnek. Az gyár állítja elő az összes villanykörte 60%-át. Mennyi egy villanykörte várható élettartama?

A teljes várható érték tételével:

ahol: egy villanykörte várható élettartama annak a valószínűsége, hogy az gyárban készült annak a valószínűsége, hogy az gyárban készült az gyárban készült villanykörte várható élettartama az gyárban készült villanykörte várható élettartama

Eszerint a villanykörte várható élettartama 4600 óra. Bizonyítás Diszkrét eset Állítás: Legyen és diszkrét valószínűségi változó ugyanazon a valószínűségi mezőn, továbbá létezzen az várható érték, . Ha az valószínűségi mező partíciója, akkor

Bizonyítás:

Ha a sor véges, akkor az összegzések felcserélhetők, így

Nem véges esetben a sor nem lehet feltételesen konvergens, mivel Ha és véges, akkor a konvergencia abszolút; ha pedig vagy nem véges, akkor a végtelenhez tart. Mindkét esetben felcserélhető az összegzés az összegre való hatás nélkül. Általános eset Legyen valószínűségi mező, amin adva vannak az σ-algebrák. Ekkor a téren egy valószínűségi változóra, aminek van várható értéke, vagyis , teljesül, hogy

Bizonyítás: Mivel a feltételes várható érték Radon–Nikodym-derivált, elegendő ezeket bizonyítani:

-mérhető minden esetén.

Az első állítás a feltételes várható érték definíciójából adódik. A második bizonyításához jegyezzük meg, hogy

Így létezik az integrál, vagyis nem egyenlő -nel. Ekkor teljesül a második állítás, hiszen implies

Következmény: Speciálisan, ha és , akkor

Partíciós formula

ahol az halmaz indikátorfüggvénye.

Ha az partíció véges, akkor a linearitás miatt az előbbi kifejezés az

alakot ölti, és készen vagyunk.

Egyébként a dominált konvergencia tételével megmutatható, hogy

innen minden esetén

Mivel minden eleme egy, és csak egy halmazba tartozik, hamar igazolható, hogy pontonként konvergál -hez. Az eredeti feltevés szerint . Innen a dominált konvergencia tétele nyújtja az eredményt. Források (Theorem 34.4) Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18) Fordítás

Kategória:Valószínűségszámítás