thumb|jobbra|Egy központú kétdimenziós normális eloszlás, melynek kovarianzmátrixa A valószínűségszámításban a kovarianciamátrix pozitív szemidefinit vagy pozitív definit mátrix, ami több valószínűségi változóhoz vagy valószínűségi vektorváltozóhoz definiálható. Átlóján szórásnégyzetek találhatók, a többi elem a megfelelő valószínűségi változók illetve koordináták kovarianciája. Az egydimenziós szórásnégyzet általánosítása.
Definíció Legyen valószínűségi vektorváltozó, . Legyen az várható értéke, a szórásnégyzete, a két koordináta, és kovarianciája. várható értéke , vagyis a várható értékek vektora. Az kovarianciamátrixa: George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 43.
A várható értékek vektora és a kovarianciamátrix az eloszlás legfontosabb jellemzői- Megadásuk: . A kovarianciamátrix, mint a kovarianciák mátrixa tartalmazza a koordináták szórásnégyzetét és a koordináták közötti lineáris kapcsolatot jellemző kovarianciákat.
A különböző elemek száma vagy . Ha a koordináták egyike sem degenerált, és nincs tökéletes kollinearitás, akkor a kovarianciamátrix pozitív definit.
Kapcsolat a várható értékkel Ha a valószínűségi vektorváltozó várható értéke, akkor . Ahol a vektorok és mátrixok várható értékei koordinátánként értendők.
Egy várható értékű és adott kovarianciamátrixú valószínűségi vektorváltozó szimulálható a következő módon: Elkészítjük a kovarianciamátrix például Choleski-felbontását: . Ekkor a valószínűségi vektorváltozó:
ahol valószínűségi vektorváltozó, melynek koordinátái egymástól független normális eloszlásúak.
Két vektor kovarianciamátrixa Két vektor kovarianciamátrixa
ahol az várható értéke és az várható értéke.
Tulajdonságai Ha , akkor a mátrixkoordináták számításának módja az i-edik vektorkoordináta szórásnégyzetét adja. Tehát a főátlón a szórásnégyzetek állnak, így nem lehetnek negatívok. Valós kovarianciamátrix szimmetrikus, mivel a kovariancia szimmetrikus. A kovarianciamátrix pozitív szemidefinit. Szimmetriája miatt főtengely-transzformációkkal diagonalizálható, és az így kapott mátrix szintén kovarianciamátrix. Mivel a főátlón csak szórásnégyzetek állnak, azért ez pozitív szemidefinit, ezért az eredeti is az. Megfordítva, minden pozitív szemidefinit méretű szimmetrikus mátrix kovarianciamátrix. A szimmetria, pozitív szemidefinitség és diagonalizálhatóság miatt a kovarianciamátrixok ellipszoidként ábrázolhatók. Minden mátrixra és vektorra teljesül, hogy . Minden vektorra teljesül, hogy . Ha és korrelálatlan valószínűségi vektorváltozók, akkor . Standardizált valószínűségi vektorváltozók esetén a kovarianciamátrix a korrelációs együtthatókat tartalmazza.
Regresszió Ha a regressziós modell alakja , és az hibatag idioszinkratikus, akkor a kovarianciamátrix
Hatékonysági kritérium Egy pontbecslő hatékonysága illetve hatékonysága mérhető a kovarianciamátrixszal, mivel tartalmazza a különböző komponensek közötti kovarianciát. Általában, egy pontbecslő hatékonyságát a kovarianciamátrixszal mérik: minél kisebb a mátrix, annál jobb a becslés. Legyen és torzítatlan valószínűségi vektorváltozó. Ha méretű valószínűségi vektorváltozó, akkor méretű szimmetrikus pozitív definit mátrix. Azt mondjuk, hogy kisebb, mint , ha pozitív szemidefinit.George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1988, S. 78.
Jegyzetek
Források Friedrich Schmid, Mark Trede: Finanzmarktstatistik. Springer-Verlag, Berlin 2006, ().
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás