A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.
Definíció Adva legyen egy valószínűségi mező, egy indexhalmaz, valószínűségi változók és az eseményterek. Legyen
az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá
a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az téren értelmezett
valószínűségi mérték definiálva van minden halmazra. Ez az valószínűségi változók közös eloszlása. Példa Legyen valószínűségi mező, ahol
diszkrét egyenletes valószínűséggel az alaphalmazon. Ez megfelel egy szabályos kockával való dobásnak. Az első valószínűségi változó , ami két kockadobás összege és leképezi az halmazt az halmazra, továbbá .
A másik valószínűségi változó
és arról szolgáltat információt, hogy az első dobott szám páros-e. Az halmazt -re képezi, valamint .
A közös eloszlás valószínűségi mérték a halmazon, ellátva a szorzat-σ-algebrával. A valószínűségi mértéket elég a generátorokra megadni, itt tehát az típusú eseményekre. Az egyszerűség kedvéért itt csak néhány valószínűséget adunk meg.
. Egyértelműség A valószínűségi változók eloszlását nem közvetlenül a szorzat-σ-algebrák szorzatára definiálják, hanem csak a mértékterek σ-algebráinak egyenkénti szorzataira. Mivel azonban ez generálja a szorzat-σ-algebrát, a fenti definíció egyértelműen kiterjeszthető a teljes szorzat-σ-algebrára. Kapcsolat a függetlenséggel Valószínűségi változók közös eloszlásával vizsgálható függetlenségük. Teljesülnek a következők: Az valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha közös eloszlásuk megegyezik a szorzatmértékkel, tehát
Ennek közvetlen következménye, hogy ha a közös eloszlásfüggvény megegyeik az eloszlásfüggvények szorzatával, akkor az is ekvivalens a függetlenséggel.
Akárhány valószínűségi változó esetén minden véges részhalmazt vizsgálni kell a függetlenségre, ami megtehető a fenti kritériumok valamelyikével. Alkalmazások A közös eloszlásokat a többdimenziós valószínűségeloszlásokkal együtt használják a peremeloszlásokra vett feltételes eloszlások vizsgálatára. A feltételes eloszlás modellezi az előzetes tudást a valószínűségi változókról.
Származtatott fogalmak Közös eloszlásfüggvény Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényéhez hasonlóan értelmezhető a közös eloszlás. Ez egy függvény, melynek definíciója esetén.
Gyakran csak jelöli. Közös sűrűségfüggvény A közös sűrűségfüggvény, hasonlóan a valószínűségi változó sűrűségfüggvényéhez, ha létezik, akkor egy függvény, amire teljesül, hogy
Itt az indexhalmaz . Peremeloszlás A valószínűségi vektorváltozókhoz hasonlóan a közös eloszlások peremeloszlásai is értelmezhetők alacsonyabb dimenziós vetületként. Speciális esetként visszakapjuk az eredeti valószínűségi változók eloszlásait is. als . A peremeloszlások eloszlásfüggvényei a peremeloszlások, sűrűségfüggvényei a peremsűrűségek. Források
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás